[論文レビュー] Infinitesimal Newton-Okounkov bodies and jet separation

Alex Küronya, Victor Lozovanu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Point processes and geometric inequalities被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特異点のない滑らかな射影的代数的多様体上の線束の局所的正性について、無限小ニュートン–オクヌフォフ体を用いて凸幾何的特徴づけを確立する。特異点の中心となるフラグに沿ってブ low-up を施したときのこれらの体を分析することで、正則性とネフ性が体の中に特定の反転標準単体が存在することと同値であることを証明する。主な貢献は、最大の反転単体定数を通じて、任意の次元における移動セシャドリ定数の完全な記述を可能にし、正性と凸幾何学を結びつけることにある。

ABSTRACT

In this paper we explore the connection between asymptotic base loci and Newton-Okounkov bodies associated to infinitesimal flags. Analogously to the surface case, we obtain complete characterizations of augmented and restricted base loci. Interestingly enough, an integral part of the argument is a study of the relationship between certain simplices contained in Newton-Okoukov bodies and jet separation; our results also lead to a convex geometric description of moving Seshadri constants.

研究の動機と目的

• 射影的多様体上の線束の局所的正性を理解するための凸幾何的枠組みを構築すること。
• 点を中心とする無限小ニュートン–オクヌフォフ体を用いて、正則性およびネフ性を特徴づけること。
• 移動セシャドリ定数の凸幾何的解釈を任意の次元に拡張すること。
• 最大の反転単体定数と移動セシャドリ定数の正確な関係を確立すること。
• 移動セシャドリ関数を、大きなコーン全域にわたって連続的かつ一様に、かつ凹関数として拡張すること。

提案手法

• 多様体の一点でのブローアップにおける、特異除集合内の線型部分空間からなる無限小フラグを構成する。
• このようなフラグに沿って、グローバルセクションの価値の凸包として無限小ニュートン–オクヌフォフ体を定義する。
• ジェット分離の技法と [ELMNP2] の結果を用いて、体の中の大きな単体がジェット分離性とどのように関係するかを分析する。
• LM や FKL からのスライシング定理および体積不等式を応用し、基本的基底と境界の挙動を解析する。
• 体に含まれる反転標準単体の最大サイズの上限として、反転最大単体定数 ξ(D;x) を定義する。
• 大きなコーン全域にわたって、移動セシャドリ定数と漸近的多重度を統合する拡張されたセシャドリ関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点における線束の局所的正性は、無限小ニュートン–オクヌフォフ体を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 線分束が正則またはネフであるための、その無限小ニュートン–オクヌフォフ体に関する明確な凸幾何的条件は何か？
• RQ3 移動セシャドリ定数は、無限小ニュートン–オクヌフォフ体の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ4 移動セシャドリ定数は、それが消える領域を含めて、大きなコーン全域に連続的かつ凹関数として拡張可能か？
• RQ5 ジェット分離は、反転単体のサイズと正性の性質とをどのように結びつけるか？

主な発見

• 任意の点 x ∈ X に対して、すべての無限小フラグ Y• に対して 0 が無限小ニュートン–オクヌフォフ体 ∆Y•(D) に含まれるならば、大 R-線分束 D はネフである。
• 任意の点 x ∈ X に対して、ある無限小フラグ Y• が存在し、その中でサイズ ξ > 0 の反転標準単体 ∆−1ξ が ∆Y•(D) に含まれるならば、大 R-線分束 D は正則である。
• 移動セシャドリ定数は ε(∥D∥;x) = ξ(D;x) を満たす。ここで ξ(D;x) は無限小ニュートン–オクヌフォフ体に含まれる反転標準単体の最大サイズである。
• B+(D) に含まれる点 x に対しては εx(D) := ε(∥D∥;x)、B+(D) ackslash B−(D) に含まれる点 x に対しては 0、B−(D) に含まれる点 x に対しては −multx∥D∥ と定義される拡張されたセシャドリ関数 εx(D) は、大きなコーン上で連続的かつ一次同調的であり、かつ凹関数である。
• 点 P² の一点でのブローアップ上での非微分可能な例によって、拡張されたセシャドリ関数が常に微分可能とは限らないことが示されている。
• 無限小ニュートン–オクヌフォフ体内の反転標準単体 ∆−1ξ の内部に存在するすべての有理点は、所定の消失条件を満たすグローバルセクションから生じる価値的点である。