[論文レビュー] Infinitesimal spectral flow and scattering matrix

Nurulla Azamov|ArXiv.org|May 23, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、区分的線形経路に沿った積分を用いて、無限小スペクトルフローの絶対連続部および特異部を定義し、それに対応するスペクトルシフト関数の成分を導入する。特定の条件下で経路に依存しないことを証明し、散乱行列の歴史的指数表現を用いて、Birman-Kreïnの公式の変種を導出する。これにより、スペクトルシフト関数の連続部が無限小散乱行列のトレースと関連づけられる。

ABSTRACT

In this note the notion of infinitesimal scattering matrix is introduced. It is shown that under certain assumption, the scattering operator of a pair of trace compatible operators is equal to the chronological exponential of the infinitesimal scattering matrix and that the trace of the infinitesimal scattering matrix is equal to the absolutely continuous part of the infinitesimal spectral flow. As a corollary, a variant of the Birman-Krein formula is derived. An interpretation of Pushnitski's $μ$-invariant is given.

研究の動機と目的

• 無限小スペクトルフローを用いて、スペクトルシフト関数の絶対連続部および特異部を定義すること。
• トレース適合性および特定の正則性条件の下で、これらの成分が区分的線形経路の選択に依存しないことを確立すること（シュレーディンガー作用素に対しても含む）。
• 散乱行列を無限小散乱行列の歴史的指数として表現する新しい表現を提供すること。
• スペクトルシフト関数をその絶対連続部に置き換えたBirman-Kreïnの公式の変種を導出すること。
• 埋め込まれた固有値を有する状況において、Pushnitskiのμ不変量をスペクトルシフト関数の特異部の負の値として解釈すること。

提案手法

• 無限小散乱行列のトレース分解を用いて、無限小スペクトルフローを絶対連続部および特異部に分解する。
• トレース適合性を持つ作用素のアフィン空間内の区分的線形経路に沿って、散乱行列を無限小散乱行列の歴史的指数として表現する。
• 無限小散乱行列のトレースが、無限小スペクトルフローの絶対連続部に一致することを特定する。
• 歴史的指数の性質およびトレース適合性を用いて、スペクトルシフト関数の成分の経路に依存しない性質を証明する。
• 全スペクトルシフト関数をその絶対連続部に置き換えることで、Birman-Kreïnの公式を再導出する。このとき、散乱行列の行列式が、-2πi 乗じた連続部の指数関数に等しいことを示す。
• 埋め込まれた固有値を有する状況において、Pushnitskiのμ不変量をスペクトルシフト関数の特異部の負の値として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース適合性を持つ作用素のアフィン空間内の区分的線形経路の選び方に依存しない、スペクトルシフト関数の絶対連続部および特異部への分解は成立するか？
• RQ2 このような経路に沿って、散乱行列を無限小散乱行列の歴史的指数として表現できるか？
• RQ3 無限小散乱行列のトレースは、無限小スペクトルフローの絶対連続部とどのように関係するか？
• RQ4 スペクトルシフト関数の全関数をその絶対連続部に置き換えた場合、Birman-Kreïnの公式をどの程度再構成できるか？
• RQ5 埋め込まれた固有値を有する状況において、スペクトルシフト関数の特異部とPushnitskiのμ不変量との正確な関係は何か？

主な発見

• スペクトルシフト関数の絶対連続部および特異部は、区分的線形経路に沿った対応する無限小スペクトルフローの成分の積分として定義される。
• トレース適合性および適切な正則性の仮定の下で、スペクトルシフト関数の連続部および特異部への分解は、区分的線形経路の選択に依存しない。
• 散乱行列が無限小散乱行列の歴史的指数として表現可能であることが示され、この公式はおそらく新規である。
• 無限小散乱行列のトレースは、無限小スペクトルフローの絶対連続部に等しい。
• 全スペクトルシフト関数をその絶対連続部に置き換えたBirman-Kreïnの公式の変種が導出された。
• Pushnitskiのμ不変量は、特にシュレーディンガー作用素に埋め込まれた固有値が存在する状況において、スペクトルシフト関数の特異部の負の値として解釈される。