[論文レビュー] Infinitesimal Symmetries of Dixmier-Douady Gerbes

Braxton Livingston Collier|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、接続構造を伴う・伴わない両方のDixmier-Douady 2次形式の無限小対称性を導入し、接続構造を伴う2次形式に関連するCourant アルゲブライトを、これらの対称性を用いた直接的な幾何的構成によって確立する。この構成により、Atiyah アルゲブライトとCourant アルゲブライトの形式的類似性が、正確に実現され、Courant アルゲブライトが自然に無限小対称性の空間として生じることを証明する。

ABSTRACT

We introduce the infinitesimal symmetries of Dixmier-Douady gerbes over a manifold M, both with and without connective structures and curvings. We explore the algebraic structure possessed by these symmetries, and relate them to equivariant gerbes via a "differentiation functor". In the case that a gerbe G is equipped with a connective structure A, we give a new construction of the Courant algebroid associated to (G,A) directly in terms of the infinitesimal symmetries of (G,A).

研究の動機と目的

• 多様体 M 上のDixmier-Douady 2次形式の、接続構造を伴う・伴わない両方の無限小対称性を定義し、それらを研究すること。
• 有限対称性と無限小対称性を結ぶ「微分関手」を介して、これらの対称性を同相的2次形式と関連付けること。
• 接続構造を伴う2次形式に関連するCourant アルゲブライトを幾何的に構成することにより、一般化幾何学における長年の形式的類似性を解消すること。

提案手法

• 本稿は、2次形式の構造を保存する導分として無限小対称性を定義し、主 bundle の無限小自己同型の概念を一般化する。
• 同相的2次形式からそれらに付随する無限小対称性代数への関手を構成し、有限対称性から無限小対称性への微分プロセスを確立する。
• 接続構造を伴う2次形式に対して、リー微分と曲率形式を用いて、対応する対称性の線分束への接続を構成する。
• 局所的な接続を貼り合わせ、移行関数の下での整合性を検証することで、無限小対称性の空間にCourant アルゲブライト構造を定義する。
• 局所的自明化と移行データを用いて、グローバルな対象を定義し、自然性および制限写像との整合性を保証する。
• 結果として得られるCourant アルゲブライトが、接続および移行データを尊重する自然同型を介して標準的なものと同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dixmier-Douady 2次形式の無限小対称性はどのように定義され、それらが形成する代数的構造は何か？
• RQ2 接続構造を伴う2次形式の無限小対称性と、それに関連するCourant アルゲブライトとの正確な関係は何か？
• RQ3 Courant アルゲブライトは、形式的ではなく、幾何的に無限小対称性から構成可能か？
• RQ4 微分関手は、同相的2次形式とそれらの無限小対称性代数との間にどのように関係づけるか？
• RQ5 対称性によるCourant アルゲブライトの構成は、完全かつ本質的に全射的か？

主な発見

• Dixmier-Douady 2次形式の無限小対称性は、主 bundle のAtiyah アルゲブライトを一般化したLie アルゲブライト構造をなす。
• 接続構造を伴う2次形式に関連するCourant アルゲブライトは、その構造を伴う2次形式の無限小対称性の空間と自然に同型である。
• Courant アルゲブライトの構成は幾何的である：リー微分と曲率形式によって定義される局所的対称性バンドル上の接続を貼り合わせることで生じる。
• 接続構造を伴う2次形式の圏からCourant アルゲブライトの圏への写像は完全かつ本質的に全射的であり、カテゴリー同値を確立する。
• 対称性バンドル上の接続は移行データと整合し、ゲージ変換の下でも正しく変換され、グローバルな一貫性が保証される。
• 本稿は、Atiyah アルゲブライトとCourant アルゲブライトの形式的類似性を解消し、後者が接続構造を伴う2次形式の無限小対称性代数的構造であることを示した。