[論文レビュー] Infinitesimal Weak Rigidity, Formation Control of Three Agents, and Extension to 3-dimensional Space

Seong‐Ho Kwon, Minh Hoang Trinh+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元マルチエージェントシステムにおける新しい弱リジディティ行列と無限小弱リジディティフレームワークを導入し、元のフレームワークを変換せずに直接的かつ直接的に形成の一意性をランク条件によって検証できるようにする。3エージェントの勾配制御則がほぼすべての初期位置から所望の形成に指数的収束することを証明し、修正されたヘンネベルク構成を用いて理論を3次元に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce new concepts of weak rigidity matrix and infinitesimal weak rigidity for planar frameworks. The weak rigidity matrix is used to directly check if a framework is infinitesimally weakly rigid while previous work can check a weak rigidity of a framework indirectly. An infinitesimal weak rigidity framework can be uniquely determined up to a translation and a rotation (and a scaling also when the framework does not include any edge) by its inter-neighbor distances and angles. We apply the new concepts to a three-agent formation control problem with a gradient control law, and prove instability of the control system at any incorrect equilibrium point and convergence to a desired target formation. Also, we propose a modified Henneberg construction, which is a technique to generate minimally rigid (or weakly rigid) graphs. Finally, we extend the concept of the weak rigidity in R^2 to the concept in R^3.

研究の動機と目的

• 従来の研究で用いられる間接的変換手法を避けることにより、混合距離および角度制約に基づく新しい弱リジディティ行列を用いて、マルチエージェント形成における弱リジディティを直接的にチェックする手法を開発すること。
• 2次元空間における3エージェント形成制御系の安定性と収束性を、勾配制御則を用いて分析すること。
• 2次元から3次元空間への弱リジディティの概念の一般化を図り、距離と角度の混合制約下でも形成形状の一意的決定を可能にすること。
• 頂点の拡張に角度に基づく制約を組み込むことで、最小リジディティ（弱リジディティ）フレームワークを生成する修正ヘンネベルク構成を提案すること。
• 無限小弱リジディティを用いて、距離リジディティ、ベアリングリジディティ、および弱リジディティを統一的な理論枠組みで統合すること。

提案手法

• R²における混合距離および角度制約から弱リジディティ行列を構築し、そのランクが無限小弱リジディティを決定づける。
• 弱リジディティ行列の核空間が、剛体運動（並進、回転、および角度のみの制約フレームワークではスケーリングも含む）にのみ張られる条件として無限小弱リジディティを定義する。
• 2次元空間における3エージェント形成に勾配制御則を適用し、エージェント間距離および角度に基づくポテンシャル関数の勾配から制御入力を導出する。
• 平衡点におけるヤコビアンを計算し、誤った平衡点が少なくとも1つの正の固有値を持つことを証明することで、システムの安定性を分析する。
• R²およびR³における最小リジディティ（弱リジディティ）フレームワークを生成するために、新たなエージェントを角度制約を用いて追加する修正ヘンネベルク構成を提案する。
• 元のフレームワークを距離制約フレームワークに変換し、3次元リジディティ理論を適用することで、R³への弱リジディティ理論を拡張する。弱リジディティの基準として3次元リジディティ行列のランクを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変換を経ずに、元の距離・角度混合制約構造から直接的にフレームワークの弱リジディティを判定できるか？
• RQ2 勾配法を用いた3エージェント形成制御系が、ほぼすべての初期配置から所望の目標形成に収束するための条件は何か？
• RQ3 2次元から3次元空間への弱リジディティの概念の一般化において、形成形状の一意的決定を保持するにはどうすればよいか？
• RQ4 角度のみの制約フレームワークにおいて、スケーリングは弱リジディティ行列の核空間にどのように寄与するか？
• RQ5 角度に基づく頂点拡張を用いて、最小リジディティ（弱リジディティ）フレームワークを生成する修正ヘンネベルク構成を設計できるか？

主な発見

• 弱リジディティ行列により、R²における無限小弱リジディティの直接的検証が可能となり、距離のみのフレームワークへの間接的変換を回避できる。
• R²における3エージェント形成制御では、システムがほぼすべての初期位置から指数的安定かつ収束することが証明され、誤った平衡点はヤコビアンの正の固有値により不安定であることが示された。
• R²における無限小弱リジディティフレームワークでは、弱リジディティ行列の核空間は、剛体運動（並進および回転）にのみ張られるが、角度のみの制約フレームワークではスケーリングが核空間の成分として含まれる。
• 修正ヘンネベルク構成により、角度制約を用いて新たなエージェントを追加することで、最小リジディティ（弱リジディティ）フレームワークを生成でき、スケーラブルな形成設計を可能にする。
• R³では、変換後の距離のみのフレームワークのリジディティ行列のランクが3n−6である場合に、フレームワークは弱リジディティを有する。この条件は、一般配置において必要かつ十分である。
• R³におけるグローバル弱リジディティは、変換後の距離のみのフレームワークがグローバルリジディティを有する場合にかつその場合にのみ成立する。これにより、局所的弱リジディティ結果がグローバルケースに拡張された。