[論文レビュー] Infinitesimals, Imaginaries, Ideals, and Fictions

David Sherry, Mikhail G. Katz|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Historical Philosophy and Science被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ライプニッツの無限小量の概念を再評価し、彼がそれらを便宜的・仮想的であるとみなしたとしても、それらを『消去可能な言い換え』の観点ではなく、『形式主義的解釈』——つまり虚数根に類似した——ものとして理解するほうが適切であると主張する。著者らは、この形式主義的解釈がライプニッツのより深い哲学的コミットメントと整合しており、彼の微積分学と現代の非標準解析との間の連続性を支持することを示している。

ABSTRACT

Leibniz entertained various conceptions of infinitesimals, considering them sometimes as ideal things and other times as fictions. But in both cases, he compares infinitesimals favorably to imaginary roots. We agree with the majority of commentators that Leibniz's infinitesimals are fictions rather than ideal things. However, we dispute their opinion that Leibniz's infinitesimals are best understood as logical fictions, eliminable by paraphrase. This so-called syncategorematic conception of infinitesimals is present in Leibniz's texts, but there is an alternative, formalist account of infinitesimals there too. We argue that the formalist account makes better sense of the analogy with imaginary roots and fits better with Leibniz's deepest philosophical convictions. The formalist conception supports the claim of Robinson and others that the philosophical foundations of nonstandard analysis and Leibniz's calculus are cut from the same cloth.

研究の動機と目的

• 現代の解釈を踏まえて、ライプニッツの無限小量の哲学的立場を再評価すること。
• ライプニッツの無限小量が、言い換えによって消去可能な論理的便宜的仮定であるという支配的見解に反論すること。
• ライプニッツが無限小量を扱った方法が、『便宜的』な解釈ではなく、『形式主義的』解釈に適合していると主張すること。
• 形式主義的解釈が、ライプニッツが無限小量と虚数根との類似性を主張する理由を的確に説明できることを示すこと。
• ライプニッツの微積分学と現代の非標準解析との間の哲学的連続性を確立すること。

提案手法

• ライプニッツの無限小量の扱いに関する文献的証拠を分析し、理想的実在と便宜的仮定の区別を行う。
• 無限小量を『消去可能』な便宜的仮定として見る『同種的帰属的』（syncategorematic）解釈と、『規則に従う』実在として見る『形式主義的』解釈を対比する。
• ライプニッツが無限小量と虚数根の類似性を強調する理由を検討し、形式主義的解釈を支持する。
• ライプニッツの形而上学的・認識論的立場を再構築することで、形式主義的解釈が彼の哲学的立場とより整合することを示す。
• ライプニッツのアプローチを、特にロビンソンの枠組みに着目した現代の非標準解析と比較し、概念的連続性を浮き彫りにする。
• 原典の歴史的・哲学的分析を用いて、無限小量が言い換えによって消去可能でないことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ライプニッツは無限小量をどのように捉えていたのか——それは理想的実在か、便宜的仮定か？
• RQ2 なぜライプニッツは無限小量を虚数根と比較するのか？この比較が示唆するのは何か？
• RQ3 『同種的帰属的』解釈（無限小量を消去可能な便宜的仮定として見る）こそ、ライプニッツの微積分学の最良の解釈であるか？
• RQ4 形式主義的解釈（無限小量を有用で規則に従う実在として見る）は、ライプニッツの哲学的コミットメントとより整合するか？
• RQ5 ライプニッツの無限小量と現代の非標準解析との間に、どの程度の概念的連続性が存在するか？

主な発見

• ライプニッツは一貫して無限小量を便宜的仮定として扱ったが、それは言い換えによって消去可能な論理的便宜的仮定ではない。
• 『形式主義的』解釈——つまり、有用で規則に従う実在として扱う——ほうが、ライプニッツが虚数根と類似性を強調する理由を的確に説明できる。
• 特に可能性と現実の形而上学的立場を含む、ライプニッツの哲学的コミットメントは、形式主義的解釈を支持する。
• 形式主義的解釈は、無限小量の消去可能性に起因する問題を回避しつつ、ライプニッツの微積分学に整合的な基礎を提供する。
• ライプニッツの無限小量と、ロビンソンによって確立された現代の非標準解析の基礎との間に、強い概念的連続性が存在する。
• 本稿は、形式主義的解釈が、無限小量のヒューリスティック的・数学的パワーを維持しつつ、それらを消去する必要がないことを結論づける。