[論文レビュー] (Infinity,2)-Categories and the Goodwillie Calculus I

Jacob Lurie|ArXiv.org|May 4, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、完全セガール空間とセガール圏を用いて(∞,2)-圏の基礎的枠組みを確立し、クォーラン同値を用いてモデルを統一し、グッドウィル・カウルススに応用することで関手の線形化を形式化し、安定∞-圏におけるモノイダル性の結果を証明する。主な貢献は、∞-2圏と導来代数的構造を通じた関手計算の体系的考察を可能にするホモトピー的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

The bulk of this paper is devoted to the comparison of several models for the theory of (infinity,2)-categories: that is, higher categories in which all k-morphisms are invertible for k > 2 (the case of (infinity,n)-categories is also considered). Our ultimate goal is to lay the foundations for a study of Tom Goodwillie's calculus of functors. To this end, we have included some simple applications to the theory of first derivatives.

研究の動機と目的

• 完全セガール空間とセガール圏を用いて(∞,2)-圏の整合的なホモトピー的枠組みを構築すること。
• クォーラン同値を用いて、クーパリティクス、単体的圏、セガール圏などの(∞,1)-圏のさまざまなモデルを統一すること。
• ∞-2圏における関手の線形化を形式化することで、グッドウィル・カウルススを高次圏的設定へ拡張すること。
• ∞-圏的設定におけるバール＝ベック型定理を用いて、安定∞-圏間の関手のモノイダル性を証明すること。

提案手法

• 完全セガール空間とセガール圏（セガール条件を満たす双単体的集合として定義される）を(∞,2)-圏のモデルとして用いる。
• セガール圏における射影的およびインジェクティブなモデル構造を適用し、(∞,1)-圏のさまざまなモデル間のクォーラン同値を確立する。
• スケーリング付き単体的集合の文脈において、局所的コカーティージャンファイブレーションのストレートネッシングおよびアンストレートニング構成を用いる。
• スケーリング付きスライス構成を用いて∞-2圏構造を導入し、それとSetΔ⁺-豊密化圏との関係を明らかにする。
• ∞-圏的設定におけるバール＝ベックの定理を応用し、安定∞-圏間の関手のモノイダル性を証明する。
• 関手Ω∞−nを用いて、スペクトルの∞-圏における余極限とそれらの元の圏における余極限との関係を確立し、保存性とスプリット単体的対象の性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全セガール空間とセガール圏を用いた(∞,2)-圏の体系的モデル化はどのように行われるか。また、これらのモデルどうしの関係は何か。
• RQ2 局所的コカーティージャンファイブレーションの文脈において、ストレートネッシングとアンストレートニングの役割は何か。
• RQ3 グッドウィル・カウルススはどのように高次圏的枠組みへ拡張可能か。特に、関手の線形化という観点から。
• RQ4 ∞-圏的設定において、合成可能な関手の列を通じてモノイダル性がどのように持ち上がるか。
• RQ5 スペクトルの∞-圏における余極限と、それらの元の安定∞-圏における余極限との関係は何か。

主な発見

• 完全セガール空間の圏は、ホモトピー的同調神経とその左随伴関手を介して、単体的圏の圏とクォーラン同値である。
• 完全セガール空間から前セガール圏への忘却関手は右クォーラン同値であり、(∞,1)-圏のさまざまなモデルを結ぶ橋渡しを果たす。
• ストレートネッシングおよびアンストレートニング関手は、∞-圏値関手と基底∞-圏上のファイブレーションとの間の同値を提供する。
• SetΔ⁺-豊密化圏における∞-2圏構造は、スケーリング付きスライス構成と同値であり、(∞,2)-圏のモデルを提供する。
• 中間関手が保存的で、右関手がモノイダルである場合、合成関手においてモノイダル性が保たれ、これは∞-圏的設定におけるバール＝ベック型定理により示される。
• Sp(D)におけるg-スプリット単体的対象の余極限は存在し、Ω∞−nによって保存される。ただし、元の圏Dが安定的であり、Gが保存的であることが条件である。