[論文レビュー] Information Causality is a Special Point in the Dual of the Gray-Wyner Region

Salman Beigi, Amin Gohari|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、入力分布がi.i.d.に限らない一般の分布に対しても、情報因果関係（IC）がグレイ＝ワイナーリジョンの双対における特別な点として導出可能かどうかを検討する。ICがi.i.d.の場合にはグレイ＝ワイナーリジョンを通じて成立することが示されるが、一般の分布への拡張は、量子理論においても初期の期待に反して、提案された相互情報量の可アクセス性（AMI）の仮説が失敗するため、未解決のまま残っている。

ABSTRACT

Information Causality contributes to the program of deriving fundamentals of quantum theory from information theoretic principles. It puts restrictions on the amount of information learned by a party (Bob) from the other party (Alice) in a one-way communication scenario: Bob receives an index b, and after a one-way communication from Alice, tries to recover the b-th bit of Alice's input. In this manuscript we note that Information Causality is indeed a point in the dual of the Gray-Wyner region in the case where Alice's input bits are chosen independently at random. The main motivation of this work was to study this connection in the case of correlated input bits. Our approach to forge this connection was to propose a new postulate called Accessibility of Mutual Information (AMI) on the underling physical theory. This approach, explained in the first version of this paper, fails since AMI is not satisfied by the quantum theory.

研究の動機と目的

• アリスの入力ビットがi.i.d.でない任意の分布に従う場合に、情報因果関係（IC）がグレイ＝ワイナーリジョンの双対における点として導出可能かどうかを特定すること。
• グレイ＝ワイナーリジョンの枠組みを用いて、古典的IC不等式を一般の入力分布へと拡張可能かどうかを調査すること。
• 提案された仮説、相互情報量の可アクセス性（AMI）が、その拡張の基礎として量子理論において成立するかどうかを評価すること。
• 非i.i.d.入力分布の文脈において、ICとグレイ＝ワイナーリジョンの間の関係を明確にすること。
• グレイ＝ワイナーリジョンが通信レートの実現可能性を特徴づけるものである場合に、任意の入力分布下でもIC不等式が有効かどうかを解明すること。

提案手法

• アリスとN人のボブを含むマルチパーティ通信シナリオとして情報因果関係ゲームを形式化し、各ボブがアリスの入力の特定ビットを回復することを試みる。
• IC状況を、アリスが公開メッセージ（レート $ R_0 = H(x) $）と各ボブへのプライベートメッセージ（レート $ R_i = H(a_i | \beta_i, b=i) $）を送るグレイ＝ワイナーソース符号化問題にマッピングする。
• スレピアン＝ウルフの定理を用いて、条件付きエントロピー $ H(a_i | \beta_i, b=i) $ をボブ_iが $ a_i $ を回復するために必要な追加ビット数として解釈し、グレイ＝ワイナーリジョンと結びつける。
• グレイ＝ワイナーリジョン設定におけるカットセット境界の結果として、IC不等式 $ H(x) + \bigsum_{i=1}^N H(a_i | \beta_i, b=i) \rgeq H(\bar{a}) $ を導出する。
• 任意の入力分布へのIC不等式の一般化を目的として、相互情報量の可アクセス性（AMI）仮説を提唱する。これは、基礎となる物理理論において相互情報量が利用可能であると仮定する。
• AMI仮説が量子理論においては成立しないことが特定され、したがってその一般化の根拠としての有効性が失われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アリスの入力分布がi.i.d.でない一般の分布である場合に、情報因果関係不等式がグレイ＝ワイナーリジョンの双対における特別な点として導出可能かどうか。
• RQ2 グレイ＝ワイナーリジョンが無限個の不等式を含む場合でも、入力分布が一般のものである場合に、ICゲームにおける通信レート $ R_0 = H(x) $ と $ R_i = H(a_i | \beta_i, b=i) $ を制約し続けるか。
• RQ3 相互情報量の可アクセス性（AMI）仮説は量子理論で有効であり、i.i.d.でない入力へのICの拡張の基礎として機能可能か。
• RQ4 一般の物理理論において、グレイ＝ワイナーリジョン問題のカットセット境界と情報因果関係不等式との関係は何か。
• RQ5 初期のAMIに基づく証明戦略が量子力学でなぜ失敗するのか。これは、情報理論的原則からICを導出するにあたり何を示唆するのか。

主な発見

• アリスの入力ビットがi.i.d.である場合、ICはグレイ＝ワイナーリジョンの双対における特別な点として成立する。これはIC不等式とグレイ＝ワイナーリジョンの制約との同値性に起因する。
• IC不等式 $ H(x) + \bigsum_{i=1}^N H(a_i | \beta_i, b=i) \rgeq H(\bar{a}) $ は一般の入力分布に対しても有効であるが、本稿ではグレイ＝ワイナーリジョンを通じたその導出は確立されていない。
• 任意の分布へのICの一般化を目的とした提案された相互情報量の可アクセス性（AMI）仮説は、量子理論においては成立せず、その一般化の基礎としての有効性を失う。
• 古典的証明（カットセット境界とスレピアン＝ウルフの定理に基づく）は成立するが、非i.i.d.入力へのその拡張は未解決の問題のまま残っている。
• i.i.d.の場合にはICとグレイ＝ワイナーリジョンの関係は安定しているが、一般の分布ではAMIと量子力学の不整合性により破綻する。
• 多数の試みにもかかわらず、本稿はグレイ＝ワイナーリジョンの双対を用いた任意の入力分布へのICの一般化が未解決のままであると結論づけ、その問題は未解決のまま残っている。