[論文レビュー] Information-disturbance tradeoff in quantum measurement on the uniform ensemble and on the mutually unbiased bases

Howard Barnum|ArXiv.org|May 24, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、純粋状態の均一分布集合に対する量子測定において、情報獲得と状態の歪みの最適なトレードオフが、一般化された「ルート二乗」ダイナミクス、つまりユニタリ共変（等方的）な測定戦略によって達成されることを確立している。情報-歪みの境界が凸であること、および次元 d が奇素数の累乗である場合、相互に直交する基底から導かれる球面2-デザインを用いることで、このような測定が簡略化できることを示している。

ABSTRACT

I consider the tradeoff between the information gained about an initially unknown quantum state, and the disturbance caused to that state by the measurement process. I show that for any distribution of initial states, the information-disturbance frontier is convex, and disturbance is nondecreasing with information gain. I consider the most general model of quantum measurements, and all post-measurement dynamics compatible with a given measurement. For the uniform initial distribution over states, I show that the least-disturbing way of making any measurement is with conditional dynamics satisfying a generalization of the projection postulate, the ``square-root dynamics.'' Thus, procedures for achieving a point on the information-disturbance frontier may be assumed to involve such conditional dynamics. Also, the information-disturbance frontier for the uniform ensemble may be achieved with ``isotropic'' (unitarily covariant) dynamics. This results in a significant simplification of the optimization problem for calculating the tradeoff in this case, giving hope for a closed-form solution. I also show that the discrete ensembles uniform on the d(d+1) vectors of a certain set of d+1 ``mutually unbiased'' or conjugate bases in d dimensions form spherical 2-designs in CP_{d-1} when d is a power of an odd prime. This implies that many of the results of the paper apply also to these discrete ensembles.

研究の動機と目的

• 未知の初期状態に対する量子測定における、情報獲得と状態の歪みの根本的トレードオフを定量化すること。
• 純粋状態の均一分布集合に対する最小歪み測定戦略を特定すること。
• 射影測定のポストュレートをPOVMに一般化し、平均的に歪みを最小化するダイナミクスを同定すること。
• 均一分布集合に対する最適測定戦略がユニタリ共変（等方的）であることを示し、最適化問題の簡略化を実現すること。
• 結果を、d次元ヒルバート空間におけるd(d+1)個の相互に直交する基底で均一に分布する離散集合に拡張し、dが奇素数の累乗である場合に球面2-デザインを形成することを示すこと。

提案手法

• 一般の量子測定をモデル化するため、射影測定に代えて正の作用素値測定（POVM）を用いる。
• 各測定結果に対する測定後ダイナミクスを記述するため、トレース減少完全正則マップ（量子操作）を適用する。
• Lüdersの規則の一般化としての「ルート二乗ダイナミクス」を導入し、$ \mathcal{G}_b(\rho) = F_b^{1/2} \rho F_b^{1/2} / \text{Tr}(F_b \rho) $ で定義する。ここで $ F_b $ はPOVM要素である。
• このルート二乗ダイナミクスが、最大混合状態 $ \rho = I/d $ におけるもつれ保全度の歪みを最小化することを証明する。
• 均一分布集合が球面2-デザインを形成することを用いて、等方的（ユニタリ共変）測定が最適であることを示す。
• d次元ヒルバート空間におけるd(d+1)個の相互に直交する基底で均一に分布する離散集合が、dが奇素数の累乗である場合に球面2-デザインを形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋状態の均一分布集合に対する量子測定における、情報獲得と歪みの最適なトレードオフは何か？
• RQ2 一般化されたLüdersの規則（ルート二乗ダイナミクス）が、均一分布集合に対して歪みを最小化することを示せるか？
• RQ3 均一分布集合に対する最適測定戦略はユニタリ共変性（等方性）を示し、最適化を簡略化できるか？
• RQ4 d次元ヒルバート空間におけるd(d+1)個の相互に直交する基底で均一に分布する離散集合が、dが奇素数の累乗である場合に球面2-デザインを形成するか？
• RQ5 対称性とデザイン理論を用いて、このような集合における情報-歪み境界を解析的に特徴づけられるか？

主な発見

• 均一分布集合における情報-歪み境界は凸であり、歪みは情報獲得量の増加とともに非減少である。
• Lüdersの規則を一般化した「ルート二乗ダイナミクス」が、最大混合状態 $ \rho = I/d $ におけるもつれ保全度の歪みを最小化する。
• 均一分布集合では、最適測定戦略がユニタリ共変（等方的）であり、最適化問題の簡略化が著しく進む。
• d次元ヒルバート空間におけるd(d+1)個の相互に直交する基底で均一に分布する離散集合は、dが奇素数の累乗である場合に球面2-デザインを形成する。
• このデザイン性により、均一分布集合に関する結果がこれらの離散集合に拡張可能であり、類似の簡略化と解析的進展が可能になる。
• 本稿では、均一分布集合に対して、ルート二乗ダイナミクスより低い平均的歪みを達成できる他の測定ダイナミクスが存在しないことを確立している。