[論文レビュー] Information geometry and entropy in a stochastic epidemic rate process

C. T. J. Dodson|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2009

COVID-19 epidemiological studies参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相関する潜伏期間と感染性期間を捉えるためにMcKayの2変量ガンマ分布を導入することで、確率的疫学的モデルを拡張し、感染拡大、非一様性の進化、エントロピーの減衰に関する明示的解析解を可能にした。疫学的拡大率は、潜伏期間のばらつきが増加すると上昇し、感染性期間のばらつきが増加すると低下することを示したが、相関が存在してもその結果は変わらない。また、指数的基準プロセスからのリーマン幾何学的距離を用いて、疫学的進行を定量化するための取り扱いやすい情報幾何フレームワークを提供した。

ABSTRACT

Epidemic models with inhomogeneous populations have been used to study major outbreaks and recently Britton and Lindenstrand \cite{BL} described the case when latency and infectivity have independent gamma distributions. They found that variability in these random variables had opposite effects on the epidemic growth rate. That rate increased with greater variability in latency but decreased with greater variability in infectivity. Here we extend their result by using the McKay bivariate gamma distribution for the joint distribution of latency and infectivity, recovering the above effects of variability but allowing possible correlation. We use methods of stochastic rate processes to obtain explicit solutions for the growth of the epidemic and the evolution of the inhomogeneity and information entropy. We obtain a closed analytic solution to the evolution of the distribution of the number of uninfected individuals as the epidemic proceeds, and a concomitant expression for the decay of entropy. The family of McKay bivariate gamma distributions has a tractable information geometry which provides a framework in which the evolution of distributions can be studied as the outbreak grows, with a natural distance structure for quantitative tracking of progress.

研究の動機と目的

• 独立分布の制限を克服するため、相関する潜伏期間と感染性期間を2変量ガンマ分布を用いてモデル化すること。
• 疫学的進行中に未感染者数の分布と情報エントロピーの進化に対する明示的解析解を提供すること。
• 指数的基準プロセスからのリーマン幾何学的距離を用いて、疫学的進行を定量化する取り扱いやすい情報幾何フレームワークを構築すること。
• 潜伏期間と感染性期間の相関が、マルサス的成長率と疫学的ダイナミクスに与える影響を調査すること。
• Britton & Lindenstrandの結果を、独立な状況から相関のある状況へと拡張し、成長率感度に関する主要な知見を保持すること。

提案手法

• 相関する2つの確率変数としての潜伏期間と感染性期間をモデル化するため、McKayの2変量ガンマ分布を用いる。
• 確率的レート過程法を適用し、未感染者の分布の時間的進化に対する閉形式の解析解を導出する。
• McKayの2変量ガンマ分布族の情報幾何を用いて、リーマン計量を定義し、指数的基準分布からの情報距離を計算する。
• 2変量ガンマの形状およびスケールパラメータを組み込んだ、マルサス的成長率の明示的表現を導出する。
• フィッシャー情報計量を用いて、疫学的進行に伴う情報エントロピーの減衰を時間的に計算する。
• ディガンマ関数およびガンマ関数の微分を用いて、情報距離を閉形式で表現し、パラメータ空間の数値可視化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜伏期間と感染性期間の相関は、疫学的拡大率にどのように影響を与えるか？
• RQ2 潜伏期間のばらつきが増加すると拡大率が上昇し、感染性期間のばらつきが増加すると拡大率が低下するという相反する効果が、相関が存在する場合にも維持されるか？
• RQ3 非一様な期間を持つ確率的疫学的モデルにおける、未感染者数の分布の時間的進化の解析的表現は何か？
• RQ4 情報幾何学は、指数的（ポアソン的）基準プロセスからの距離を用いて、疫学的進行をどのように定量化できるか？
• RQ5 情報エントロピーの減衰に対する閉形式の表現は何か？ また、非一様分布の進化とどのような関係にあるか？

主な発見

• マルサス的成長率は、平均的な潜伏期間および感染性期間が増加するにつれて、相関が存在しても単調に減少し続ける。
• 疫学的拡大率は、潜伏期間のばらつきが増加すると上昇し、感染性期間のばらつきが増加すると低下する。これは、Britton & Lindenstrandの独立状況における結果を確認するものである。
• 未感染者の分布の時間的進化に対する閉形式の解析解が導出され、疫学的ダイナミクスの正確な追跡が可能になった。
• 情報エントロピーは時間とともに単調に減少し、確率的レート過程とフィッシャー情報計量に基づく付随的な表現が得られた。
• 指数的基準プロセスからの情報距離（リーマン計量を介して）の明示的式が導出された — それぞれ潜伏期間（式28）および感染性期間（式29）について — これにより、疫学的シナリオの定量的比較が可能になった。
• McKayの2変量ガンマ族は、可視化可能な距離面（図7および図8）を提供する取り扱いやすい情報幾何フレームワークをサポートしており、これにより潜伏期間および感染性期間におけるポアソン過程からの逸脱が表現された。