[論文レビュー] Information Geometry, One, Two, Three (and Four)

D.A. Johnston, Wolfhard Janke+1 more|Pure (Coventry University)|Aug 15, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、情報幾何学—特にフィッシャー・ラオ計量とそのスカラー曲率—を用いて統計力学的モデルおよびブラックホール熱力学における相転移を分析する。1次元Potts模型、量子重力に結合した2次元イジング模型、3次元球面模型において、スカラー曲率が臨界点で発散することを示し、スケーリング則 ∼ξ^d が成り立つことを確認した。これは、曲率が臨界性を示すという仮説を支持するものであり、KerrブラックホールにおいてもRuppeiner幾何学を用いて類似の結果が得られた。

ABSTRACT

Although the notion of entropy lies at the core of statistical mechanics, it is not often used in statistical mechanical models to characterize phase transitions, a role more usually played by quantities such as various order parameters, specific heats or suscept ibilities. The relative entropy induces a metric, the so-called information or Fisher-Rao m etric, on the space of parameters and the geometrical invariants of this metric carry information about the phase structure of the model. In various models the scalar curvature, ${\cal R}$, of the information metric has been found to diverge at the phase transition point and a plausible scaling relation postulated. For spin models the necessity of calculating in non-zero field has limited analytic consideration to one-dimensional, mean-field and Bethe lattice Ising models. We report on previous papers in which we extended the list somewhat in the current note by considering the {\it one}-dime nsional Potts model, the {\it two}-dimensional Ising model coupled to two-dimensional quantum gravity and the {\it three}-dimensional spherical model. We note that similar ideas have been ap plied to elucidate possible critical behaviour in families of black hole solutions in {\it four} space-time dimensions.

研究の動機と目的

• フィッシャー・ラオ計量のスカラー曲率が統計力学的モデルにおける相転移を示すかどうかを調査すること。
• 1次元および平均場モデルにとどまらず、1次元Potts模型、ランダム格子上の2次元イジング模型、3次元球面模型に対しても、曲率スケーリングの解析的結果を拡張すること。
• スカラー曲率 ∼ξ^d（dは空間次元）およびハイパースケーリング下での νd = 2−α が成り立つという仮説を検証すること。
• 情報幾何学がブラックホール熱力学に適用可能かどうかを検討し、特に曲率の発散を用いて臨界行動を同定すること。

提案手法

• 相対エントロピーから導かれるフィッシャー・ラオ計量を用い、分配関数の対数の2階微分で定義される： dl² = ∂²lnZ/∂θi∂θj dθidθj。
• 計量テンソルの行列式と自由エネルギーの3階微分を用いてスカラー曲率 𝒫 を計算する。式は 𝒫 = −1/(2G²) × |3階微分の行列式の絶対値| で与えられる。
• 既知の臨界的挙動を示すモデル（1次元Potts模型、ランダム表面上の2次元イジング模型、3次元球面模型）に計量を適用し、臨界定域における曲率スケーリングを計算する。
• ハイパースケーリング関係 νd = 2−α を用いて曲率スケーリングを予測し、解析的結果と比較する。
• エントロピーとエネルギーからそれぞれ得られるRuppeinerおよびWeinhold計量を用いて、ブラックホール熱力学へと枠組みを拡張する。
• KerrおよびReissner-Nordströmブラックホールにおける曲率挙動を解析し、極限状態（極端状態）で発散することを示す。

Figure 1: A plot of ${\cal R}$ for the one-dimensional Ising model for $y=1\ldots 10$ , $z=0\ldots 5$ . The positivity of ${\cal R}$ and the expected $z\rightarrow 1/z$ symmetry are both apparent.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元Potts模型および量子重力に結合した2次元イジング模型において、情報計量のスカラー曲率は相転移で発散するか？
• RQ2 3次元球面模型において、スカラー曲率の相関長 ξ とのスケーリングは、𝒫 ∼ ξ^d および νd = 2−α と整合するか？
• RQ3 統計力学に用いられる同じ幾何的枠組みをブラックホール熱力学に適用し、臨界行動を同定できるか？
• RQ4 Kerrブラックホールの極端状態 J/M² = ±1 において、Ruppeiner計量の曲率は発散するか？これは相転移を示唆するか？
• RQ5 Ruppeiner計量とWeinhold計量は、ブラックホール族における臨界点の検出において、同等の能力を示すか？

主な発見

• 1次元Potts模型のスカラー曲率は、絶対零度および零磁場で発散し、予測されたスケーリング 𝒫 ∼ ξ^d と整合する。
• 量子重力に結合した2次元イジング模型では、臨界点で曲率が発散し、期待される ξ^d 依存性と一致するスケーリングを示す。
• 3次元球面模型では、臨界点近傍でスカラー曲率が 𝒫 ∼ ε^−2 とスケーリングする。これは α = −1 の場合に予測されたスケーリングを確認する。
• KerrブラックホールのRuppeiner曲率は、極端状態 J/M² = ±1 で発散し、統計模型における相転移と類似した臨界点を示唆する。
• Reissner-Nordströmブラックホールでは、S = 3Q² で計量成分が消えるが、Ruppeiner曲率は有限のままであり、以前の提唱とは異なり相転移は示さない。
• 情報幾何学の枠組みは、統計力学的系およびブラックホール解の両方において臨界挙動を的確に同定でき、相転移の普遍的な幾何的兆候を示唆する。

Figure 2: A plot of ${\cal R}$ for the one-dimensional $3$ -state Potts model for $y=1\ldots 10$ , $z=0\ldots 5$ . ${\cal R}$ is no longer positive definite for physical values of $y,z$ and there is no $z\rightarrow 1/z$ symmetry. In addition the maximum of ${\cal R}$ does not lie at $z=1$ .