[論文レビュー] Information on some recent applications of umbral extensions to discrete mathematics

A. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2004

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化された $ψ$-微積分フレームワークを用いて、Stirling数およびBell数のアンブレル拡張を導入し、$q$-およびFibonomial拡張の場合の新しいDobinski型公式を導出する。Morgan Wardによる非同次 $Δ_{\psi}$-差分方程式の解法を、逆順表記システムを用いて $ψ$-Appell多項式へと拡張し、$q$-微積分とFibonomial微積分を特別なケースとして統一する。

ABSTRACT

At the first part of the paper we show how specific umbral extensions of the Stirling numbers of the second kind result in new type of Dobinski-like formulas. In the second part among others one recovers how and why Ward solution of uncountable family of extended difference calculus nonhomogeneous equations extends to Ward-Appell polynomials case . Illustrative specifications to q-calculus case and fibonomial calculus case are made explicit due to the usage of the so called upside down notation for objects of extended finite operator calculus .

研究の動機と目的

• Stirling数の第二種を $ψ$-拡張を用いて一般化し、新しいDobinski型公式を導出すること。
• 非同次 $Δ_{\psi}$-差分方程式のMorgan Wardの解法を $ψ$-Appell多項式のケースへ拡張すること。
• 拡張された有限作用素微積分（EFOC）における逆順表記を用いて、$q$-微積分とFibonomial微積分を一つのフレームワークに統一すること。
• $q$-微積分およびFibonomial微積分への理論の明示的仕様を提示し、組合せ的解釈を含めること。
• EFOCフレームワーク内に $ψ$-Bernoulli、$ψ$-Hermite、および $ψ$-Laguerre多項式を導入し定義すること。

提案手法

• 逆順表記システムを用いて $ψ$-拡張対象を定義し、$n_{\psi} = \frac{\psi(n-1)}{\psi(n)}$、$n_{\psi}! = n_{\psi}(n-1)_{\psi}!$、および $x_{\psi}^{\underline{k}} = x_{\psi}(x-1)_{\psi}\cdots(x-k+1)_{\psi}$ を定義する。
• 拡張された有限作用素微積分（EFOC）を用いて、恒等式 $x_{\psi}^n = \sum_{k=0}^n \left\{\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right\}_{\psi}^{\sim} x_{\psi}^{\underline{k}}$ を用いて、Stirling数の第二種を $ψ$-Stirling数 $\left\{\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right\}_{\psi}^{\sim}$ に一般化する。
• $ψ$-Bell数 $B^{\sim}_{\psi}(n)$ を $\sum_{k=0}^n \psi^{(k)} \left\{\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right\}_{\psi}^{\sim}$ として導出し、新しいDobinski型公式に至る。
• 差分方程式 $\Delta_{\psi}f = \varphi$ を $ψ$-Appell作用素 $\hat{A} = S^{-1}$ を用いて解き、ここで $S = \sum_{k\geq 0} \frac{q_{k+1}}{(k+1)_{\psi}!} \partial_{\psi}^k$ である。
• $ψ$-積分 $\int_{\psi}$ を $\partial_{\psi} = \hat{n}_{\psi} \partial_0$ を用いて定義し、$\int_{\psi} x^n = \frac{1}{(n+1)_{\psi}} x^{n+1}$ とし、$\partial_{\psi} \circ \int_{\psi} = \text{id}$ を満たすようにする。
• フレームワークを $q$-微積分（$\psi = \frac{1-q^n}{1-q}$）、Fibonomial微積分（$\psi = F_n$、フィボナッチ数）、および $ψ$-Hermiteおよび $ψ$-Laguerre多項式の構築に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンブレル拡張された第二種Stirling数は、一般化された $ψ$-微積分においてどのように新しいDobinski型公式を導くか？
• RQ2 Morgan Wardによる $\Delta_{\psi}f = \varphi$ の解法は、$ψ$-Appell多項式の場合にどのように自然に拡張されるか？
• RQ3 EFOCにおける逆順表記は、どのように $q$-微積分とFibonomial微積分を一つの作用素的フレームワークに統一するか？
• RQ4 拡張されたアンブレル微積分の文脈において、$ψ$-Hermiteおよび $ψ$-Laguerre多項式の明示的形は何か？
• RQ5 $ψ$-積分と $ψ$-微分は、差分方程式の解法および特殊多項式の構築において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$ψ$-拡張された第二種Stirling数に対して、古典的な $q$-Dobinski 公式（$q$-ポisson分布の一般化）を拡張した新しいDobinski型公式を導出する。
• 差分方程式 $\Delta_{\psi}f = \varphi$ の解法は、$f(x) = \sum_{n\geq 1} \frac{A_n}{n_{\psi}!} \varphi^{(n-1)}(x) + \int_{\psi} \varphi(x) + p(x)$ を用いて $ψ$-Appell多項式へ拡張され、ここで $p$ は $Q(\partial_{\psi})$-周期的である。
• $q$-微積分の場合、$ψ$-Appell解法はMorgan WardおよびViskovの既知の結果を回復し、$\psi = \frac{1-q^n}{1-q}$ の明示的表現が得られる。
• Fibonomial微積分の場合（$\psi = F_n$）、本フレームワークは新しい $F$-Bernoulli多項式を導出し、Fibonomial係数の組合せ的解釈を提供する。
• $ψ$-Laguerre多項式は $L_{n,\psi}(x) = \frac{n_{\psi}}{n} \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k}_F (n-1)_{\psi}^{\underline{n-k}} \frac{k}{k_{\psi}} x^k$ として明示的に構成され、$q=1$ で古典的ケースに還元される。
• $ψ$-Hermite多項式は $H_{n,\psi}(x) = \left[ \sum_{k\geq 0} \left(-\frac{1}{2}\right)^k \frac{\partial_{\psi}^{2k}}{k_{\psi}!} \right] x^n$ を用いて定義され、古典的Hermite多項式を一般化する。