[論文レビュー] Information Rates of Minimal Non-Matroid-Related Access Structures

Jessica Ruth Metcalf-Burton|ArXiv.org|Jan 23, 2008

Cryptography and Data Security参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、キングとn人の歩が秘密を共有する形式Γₙの、最小非マトロイド関連アクセス構造すべての正確な情報率を決定する。エントロピーに基づく境界と明示的な秘密共有方式を用いて、すべてのn ≥ 2に対して情報率がちょうど(n−1)/(2n−3)であることを証明し、この無限族のアクセス構造に関して未解決であった問題を解決する。

ABSTRACT

In a secret sharing scheme, shares of a secret are distributed to participants in such a way that only certain predetermined sets of participants are qualified to reconstruct the secret. An access structure on a set of participants specifies which sets are to be qualified. The information rate of an access structure is a bound on how efficient a secret sharing scheme for that access structure can be. Marti-Farre and Padro showed that all access structures with information rate greater than two-thirds are matroid-related, and Stinson showed that four of the minor-minimal, non-matroid-related access structures have information rate exactly two-thirds. By a result of Seymour, there are infinitely many remaining minor-minimal, non-matroid-related access structures. In this paper we find the exact information rates for all such structures.

研究の動機と目的

• 無限族Γₙに属するすべてのマイナー最小非マトロイド関連アクセス構造の正確な情報率を特定すること。
• 小さなケースでは2/3の情報率が示されたが、一般のΓₙ（n ≥ 4）については未解決であった既存研究のギャップを埋めること。
• エントロピー関数の性質と明示的な秘密共有構成を用いて、情報率のタイトな上界と下界を提供すること。
• すべての最小非マトロイド関連アクセス構造が、その情報率に関して完全に特徴付けられていることを示すこと。

提案手法

• 情報理論的制約を分析するため、正規化エントロピー関数h(X) = H(X)/H(S)を用いる。
• エントロピー関数の部分加法性および+部分加法性の性質を適用し、情報率の上界を導出する。
• 明示的な秘密共有方式Σを構成する。この方式は多項式ベースの方式(Σ₁)と複数のしきい値方式(Σ₂)を組み合わせることで、下界を達成する。
• 1つの(n−1)次多項式方式と、(n−2)個の(2,2)および(n,n)しきい値方式を組み合わせ、共有サイズをバランスさせる。
• 構成された方式において共有が一様分布であることを証明し、エントロピーに基づく率計算が有効であることを保証する。
• キングと歩の両方の共有が同じエントロピー比を持つことを示し、ρ(Σ) = (n−1)/(2n−3)を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2の状況において、キングとn人の歩によるアクセス構造Γₙの正確な情報率は何か？
• RQ2 先行研究では小さなnに対して2/3しか得られなかったが、エントロピーに基づく手法を用いてΓₙの情報率をタイトに束縛できるか？
• RQ3 すべてのn ≥ 2に対して、情報率(n−1)/(2n−3)を達成する明示的な秘密共有方式は存在するか？
• RQ4 部分加法性および+部分加法性のエントロピー制約は、非マトロイド関連アクセス構造における最小共有サイズにどのように制限を加えるか？

主な発見

• キングとn人の歩によるアクセス構造Γₙの情報率は、すべてのn ≥ 2に対して正確に(n−1)/(2n−3)である。
• この結果により、セイモアとスタインソンが確立したように、すべての最小非マトロイド関連アクセス構造の情報率が完全に特徴付けられた。
• 情報率の上界は、正規化エントロピー関数hの+部分加法性および部分加法性を用いて導出された。
• 下界は、多項式方式と複数のしきい値方式を組み合わせた構成的秘匿共有方式によって達成された。
• 構成された方式では、キングおよび各歩がlog(q^{2n−3})のサイズの共有を受け取り、秘密サイズがlog(q^{n−1})であるため、情報率は(n−1)/(2n−3)となる。
• 方式における共有の一様分布は、エントロピーに基づく率計算が正当かつ最適であることを確認する。