[論文レビュー] Information storing yields a point-asymmetry of state space in general probabilistic theories

Keiji Matsumoto, Gen Kimura|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、一般確率理論（GPT）における情報格納容量と幾何的非対称性の根本的関係を確立し、ミンコフスキー非対称性測度（m）が情報格納可能度（n）から1を引いたものに等しいことを証明している。主な貢献は、情報-非対称性恒等式 m = n − 1 であり、より多くの情報を格納できる系は、本質的に非対称な状態空間を持つ必要があることを示しており、これは、キュービットの対称的Bloch球とは異なり、高次元量子状態空間が複雑である理由を説明している。

ABSTRACT

It is known that the high-dimensional quantum state space is notoriously complicated in contrast with the beautiful Bloch ball of the qubit. We examined the mechanism behind this fact in the frame work of general probabilistic theory (GPT), and found rather general quantitative relations between the geometry of the state space and its information storing capability. The main result is the information-asymmetry identity, which (up to the constant term) equates the {\it Minkowski measure of asymmetry} with the {\it information storability} which, in addition to its own operational meaning, serves as an upper bound to common information measures such as semi-classical capacity. As a consequence, the asymmetry measure is lower-bounded by information storing capability of the state space, so the increase in the latter enhances the former. Coming back to the quantum systems, the $d$-level state space cannot be symmetric "because" it can store more than a single bit of information. Also, the Holevo capacity of any quantum channel with point-symmetric image is at most a single bit. In the course of the research, we applied Shannon theory to GPT, producing a couple of new results. Also presented is a new geometrical proof of known upper bounds to information measures.

研究の動機と目的

• 高次元量子状態空間がキュービットの対称的Bloch球とは対照的に幾何的に複雑である理由を理解すること。
• 物理理論における情報格納能力に関連する内在的な幾何的特徴を特定すること。
• 一般確率理論（GPT）を用いて、量子理論や古典理論を超えた一般枠組みを構築し、構造的原則を分離すること。
• 標準的な情報測度（例えば半古典的容量）を上限づける情報格納可能度（n）の定義と操作的定式化をすること。
• GPTにおける幾何的非対称性（ミンコフスキー測度 m を通じて）と情報容量（n）を結ぶ普遍的恒等式を確立すること。

提案手法

• 凸状態空間における点の非対称性をアフィン不変な幾何的測度としてミンコフスキー測度 m を導入し、m = 1 が完全な点対称性を示す。
• 情報格納可能度 n を、古典-量子（CQ）チャネルプロトコルのGPT版における、正しく格納されたメッセージの平均数の最大値として定義する。
• GPTにおける凸双対性と線形計画法を用いて、情報-非対称性恒等式 m = n − 1 を導出する。
• シャノン情報理論をGPTに適用し、半古典的容量や最大相対エントロピーを含む情報測度の上限を導出する。
• 半定値計画法の強い双対性を用いて、最適測定戦略および状態識別に適したヘルドゥーム族の存在を証明する。
• m ≥ n − 1 が普遍的であり、すべてのGPTモデルで等号が成り立つことを示し、状態集合と測定の最適化を用いて m = n − 1 を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理理論における状態空間のどの幾何的性質が、情報格納容量と根本的に関連しているか？
• RQ2 d > 2 の場合、d次元量子系の状態空間がキュービット状態空間とは異なり幾何的に複雑であるのはなぜか？
• RQ3 すべての一般確率理論にわたって、幾何的非対称性と情報容量を結ぶ普遍的恒等式を導出可能か？
• RQ4 情報格納可能度 n は、完全に区別可能な状態の数や半古典的容量といった他の標準的情報測度とどのように関係するか？
• RQ5 GPTにおける情報測度の既知の上限に対する一般的幾何的証明は存在するか？

主な発見

• 情報-非対称性恒等式 m = n − 1 は、すべての一般確率理論において普遍的に成立し、幾何的非対称性と情報容量を結びつける。
• ミンコフスキー非対称性測度 m は n − 1 で下限づけられ、情報格納可能度が高いほど幾何的非対称性が顕著になることを示している。
• d次元量子系では m = d − 1 であり、これはキュービットの場合（m = 1）とは異なり、状態空間の複雑さを説明している。
• 点対称な像を持つ任意の量子チャネルのホールーヴォ容量は、1ビット以下に制限され、これは恒等式の直接的結果である。
• 情報格納可能度 n は、半古典的容量や完全に区別可能な状態の数の上界を示しており、キュービットでは n = 2 である。
• 任意の有限状態集合と事前分布に対してヘルドゥーム族の集合が存在し、情報格納可能度測度の最適性が証明される。