[論文レビュー] Information Theoretic Axioms for Quantum Theory

Marco Zaopo|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、区別可能性、保存則、可逆性、結合性の4つの情報理論的公理から量子理論を再構築し、それらを満たす唯一の非古典的確率論的理論が量子力学であることを示している。部分空間公理の必要性を排除し、公理の部分集合を満たす理論を分類し、量子論理と情報理論的基礎の間にリンクを確立している。実数およびクaternion的量子理論は、2-局所的トモグラフィー条件を緩和することで、整合的な代替理論として現れる。

ABSTRACT

In this paper we derive the complex Hilbert space formalism of quantum theory from four simple information theoretic axioms. It is shown that quantum theory is the only non classical probabilistic theory satisfying the following axioms: distinguishability, conservation, reversibility, composition. The new results of this reconstruction compared to other reconstructions by other authors are: (i) we get rid of axiom "subspace" in favor of axiom conservation eliminating mathematical requirements contained in previous axiomatics; (ii) we are able to classify all the probabilistic theories that are consistent requiring (a) only the first two axioms (b) only the first three axioms; this could be useful in experimental tests of quantum theory since it gives the possibility to understand whether or not other mathematical models could be consistent with such tests; (iii) we provide a connection between two different approaches to quantum foundations, quantum logic and the one based on information theoretic primitives showing that any theory satisfying the first two axioms given above either is classical or is a theory in which physical systems are described by a projective geometry.

研究の動機と目的

• 部分空間公理のような事前の数学的制約を避けて、情報理論的原則にのみ依拠した量子理論の新たな再構築を提供すること。
• 4つの公理の部分集合を満たすすべての確率論的理論を分類し、代替モデルの実験的検証を可能にすること。
• 量子論理（純粋状態の射影幾何学）と情報理論的基礎との間の形式的関係を確立すること。
• 実数およびクaternion的量子理論が2-局所的トモグラフィー下で公理を満たすことを示し、局所的トモグラフィーを緩和した場合にそれらが実用的な代替理論である可能性を示すこと。

提案手法

• 区別可能性、保存則、可逆性、結合性の4つの公理から、複素ヒルベルト空間形式を導出する。
• 保存則と区別可能性の公理を用いて、純粋状態が一般の体上の射影空間をなすすべての確率論的理論を分類する。
• 可逆性の公理を適用して、状態空間をd次元における超球面に制限し、ノルム付き除法代数（実数、複素数、クaternion、オクタニオン）を導く。
• 実数量子理論における局所的トモグラフィーの代替として2-局所的トモグラフィーを導入し、公理と整合的であることを示す。
• 状態空間と変換の構造的解析を用いて、公理の部分集合を満たす理論の集合を特徴付ける。
• WootersとHardyの結果を用いて、実数量子理論が2-局所的トモグラフィー下で公理を満たすことを主張し、代替候補として提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分空間公理や圧縮公理を排除し、情報理論的原則にのみ依拠して量子理論を再構築できるか？
• RQ2 区別可能性と保存則の公理のみを満たす理論のクラスは何か？
• RQ3 区別可能性、保存則、可逆性を満たす理論はどれか？ それらは射影幾何学およびノルム付き除法代数とどのように関係するか？
• RQ4 2-局所的トモグラフィーは、実数量子理論における複合系の特徴付けにおいて、局所的トモグラフィーとどのように比較できるか？
• RQ5 局所的トモグラフィーを2-局所的トモグラフィーに置き換えた場合、4つの公理を満たす唯一の非古典的理論は実数量子理論に限られるか？

主な発見

• 区別可能性、保存則、可逆性、結合性の4つの公理をすべて満たす唯一の非古典的確率論的理論は、複素振幅を用いた量子理論である。
• 区別可能性と保存則の公理のみを満たす理論は、古典的であるか、一般の体上の射影空間をなす純粋状態を持つものであり、実数、複素数、クaternionの振幅へ一般化された量子理論を含む。
• 可逆性を追加すると、状態空間がd次元における超球面に制限され、振幅がノルム付き実除法代数に属することを示唆する。これには実数、複素数、クaternion、オクタニオンが含まれる。
• 実数量子理論は、局所的トモグラフィーを除き、すべての公理を満たすが、WootersとHardyの結果により、2-局所的トモグラフィー下では整合的である。
• 本論文は、2-局所的トモグラフィー下で区別可能性、保存則、可逆性、結合性を満たす理論として、実数量子理論が唯一の候補であると予想している。
• 本研究は、量子論理（射影幾何学）と情報理論的基礎との間の形式的リンクを確立し、最初の2つの公理を満たす理論が、古典的であるか、射影的であることを示している。