[論文レビュー] Information theory demonstration of the Richardson cascade

Rory Cerbus, W. I. Goldburg|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ナビエ＝ストークス方程式やコルモゴロフの仮定に依存せずに、情報理論——特に条件付きエントロピーと相互情報量——を用いて、(準)2次元乱流におけるリチャードソンの渦乱子キャスケード仮説を検証する。情報が大規模な渦から小規模な渦へ流れることを示し、キャスケードの方向を確認するとともに、非定常性が不可逆的かつ情報の伝達による必然的特徴であることが明らかになる。

ABSTRACT

Turbulence theory is usually concerned with the statistical moments of the velocity or its fluctuations. One could also analyze the implicit probability distributions. This is the purview of information theory. Here we use information theory, specifically the conditional entropy, to analyze (quasi-)2D turbulence. We recast Richardson's "eddy hypothesis" that large eddies break up into small eddies in time in the language of information theory. In addition to confirming Richardson's idea, we find that self-similarity and turbulent length scales reappear naturally. Not surprisingly, we also find that the direction of information transfer is the same as the direction of the cascade itself. Consequently, intermittency may be considered a necessary companion to all turbulent flows.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式やコルモゴロフの仮定を用いずに、情報理論を用いてリチャードソンの渦仮説——大規模な渦がより小さな渦に分裂する——を検証すること。
• 乱流における情報伝達の方向が、エネルギーキャスケードの方向と一致するかどうかを特定すること。
• 自己同形性および乱流の長さスケールが、速度フラクチュエーションの情報理論的解析から自然に出現するかどうかを調査すること。
• 非定常性が、コルモゴロフスケーリング仮定とは独立して、情報伝達の結果として必然的であるかどうかを評価すること。

提案手法

• 本研究では、条件付きエントロピー H(Le|Sl) と H(Sl|Le) を用いて、小規模渦の状態が与えられたもとでの大規模渦の進化における不確実性を定量化する。
• 情報伝達の方向を検出するための指標 D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le) を定義し、D(r) > 0 であれば大規模から小規模スケールへのキャスケードが成立する。
• 2次元 soapy film 流れからの実験データを、粒子画像ビジョメトリ（PIV）を用いて分析し、さまざまなスケール r における速度差 δu(r) を抽出する。
• 情報理論的量を計算するために、Sₙ(r) のような統計モーメントに依存しない確率分布 p(δu(r)) を用いる。
• 自己同形性は、D(r) を特徴的な長さスケール L で正規化することで検証され、レイノルズ数にかかわらず曲線が重なることはスケール不変性を示す。
• 大規模渦と小規模渦の間の共有情報量を定量化するために相互情報量 I(Sl;Le) を用い、I(Sl;Le) > I(Ll;Se) が成立することで、ネットで小規模方向への情報伝達が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報理論は、ナビエ＝ストークス方程式やコルモゴロフの仮定を用いずに、リチャードソンの渦キャスケード仮説を検証する枠組みを提供するか？
• RQ2 乱流における情報伝達の方向は、大規模から小規模スケールへの物理的キャスケード方向と整合的か？
• RQ3 自己同形性および乱流の長さスケールは、速度フラクチュエーションの情報理論的解析から自然に出現するか？
• RQ4 スケール間の相互情報量が、情報が不可逆的に小規模方向へ流れることを確認できるか。これは、大規模な駆動力の「忘却」が不可能であることを示唆するか？
• RQ5 不可逆的かつ情報伝達による非定常性は、すべての乱流キャスケードにおいて必然的な特徴であるか？

主な発見

• すべての r に対して D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le) が正であることが確認され、大規模渦が統計的により小さな渦へ進化することを示し、リチャードソンのキャスケード仮説が妥当であることが裏付けられる。
• D(r) にほぼ一定の領域が観測され、コルモゴロフ理論における定常渦度フラックスに類似した定常な情報フラックスを示唆する。
• 単一の長さスケール L で正規化した D(r) の曲線が、異なるレイノルズ数間で重なり合うことから、自己同形性および乱流の長さスケールの出現が示される。
• L と初期長さスケール L₀ の比は、レイノルズ数が増加するにつれて減少し、流れの強度に依存するスケーリング関係があることを示唆する。
• 相互情報量の分析により、I(Sl;Le) > I(Ll;Se) が成立し、大規模から小規模スケールへのネット情報伝達が確認され、大規模な駆動力が「忘却」されないことが示される。
• 不可逆的かつ情報伝達による非定常性は、すべての乱流キャスケードにおいて必然的な特徴である。なぜなら、スケール間の完全な統計的独立性は実現不可能だからである。