[論文レビュー] Informationally complete measurements from compressed sensing methodology

Amir Kalev, Robert L. Kosut+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2015

Control Systems and Identification参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子密度行列の正定値性が、圧縮センシング（CS）と量子状態トモグラフィーにおける情報的完全性の間の厳密な関係を確立することを示している。正定値コーン上の凸最適化を活用することで、古典的に必要な場合よりも少ない測定設定を用いて、高次元量子状態を強固かつ効率的に再構成可能であり、特定の凸最適化プログラムに依存しない回復が可能である。

ABSTRACT

Compressed sensing (CS) is a technique to faithfully estimate an unknown signal from relatively few data points when the measurement samples satisfy a restricted isometry property (RIP). Recently, this technique has been ported to quantum information science to perform tomography with a substantially reduced number of measurement settings. In this work we show that the constraint that a physical density matrix is positive semidefinite provides a rigorous connection between the RIP and the informational completeness of a POVM used for state tomography. This enables us to construct informationally complete measurements that are robust to noise using tools provided by the CS methodology. The exact recovery no longer hinges on a particular convex optimization program; solving any optimization, constrained to the cone of positive semidefinite matrices, effectively results in a CS estimation of the state. From a practical point of view, we can therefore employ fast algorithms developed to handle large dimensional matrices for efficient tomography of quantum states of a large dimensional Hilbert space.

研究の動機と目的

• 圧縮センシングにおける制限等長性（RIP）と量子測定における情報的完全性の間の理論的関係を確立すること。
• 高次元ヒルベルト空間における量子状態トモグラフィーに必要な測定設定の数を削減する課題に対処すること。
• ノイズに強く、大規模系へスケーラブルな量子状態の再構成フレームワークを構築すること。
• 密度行列の正定値構造を活用して、大規模な正定値行列向けに設計された高速な凸最適化アルゴリズムを量子状態推定に適用可能にする。

提案手法

• 圧縮センシングから得られる制限等長性（RIP）を活用し、少数の測定から安定的かつ強固な信号回復を保証する。
• 量子密度行列の正定値制約を、測定POVMの情報的完全性を保証する主要な構造的性質として用いる。
• 正定値行列のコーン上での凸最適化を用いて量子状態を推定し、特定の最適化プログラムに依存しない。
• 圧縮センシングの道具を用いて、情報的完全かつノイズに強い測定設定を構築する。
• 大規模次元の正定値行列向けに設計された高速数値アルゴリズムを活用して、状態再構成を加速する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度行列の正定値性を用いて、圧縮センシングに基づく量子トモグラフィーにおける情報的完全性を保証できるか？
• RQ2 制限等長性（RIP）は、量子状態推定における測定POVMの性能とどのように関係するか？
• RQ3 標準的な圧縮センシングの回復保証を、密度行列の構造を用いて量子ドメインにどの程度適応できるか？
• RQ4 正定値コーンに制約を課した任意の凸最適化が、量子状態の有効な圧縮センシング推定をもたらすか？

主な発見

• 密度行列の正定値性が、量子測定における圧縮センシングと情報的完全性を結ぶ理論的基盤を厳密に提供する。
• 情報的完全なPOVMは、圧縮センシングの手法を用いて構築可能であり、ノイズに強く、測定のオーバーヘッドを低減する。
• 正確な状態回復は、解が正定値コーン内にある限り、特定の凸最適化プログラムに依存しなくなる。
• このフレームワークにより、大規模次元行列向けの高速かつスケーラブルなアルゴリズムの適用が可能となり、高次元量子状態トモグラフィーにおける計算効率が顕著に向上する。