[論文レビュー] Infrared and ultraviolet problem for the Nelson model with variable coefficients

Christian Gérard, Fumio Hiroshima+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ボソン質量と時空計量が空間的に変化する可変係数を有するネルソン模型において、基底状態の存在と紫外切断の除去を検討する。ボソン質量が無限遠でゼロに近づく（赤外問題）という条件下でハミルトニアンを解析することにより、基底状態の存在を確立し、局所的相互作用を持つモデルへの紫外切断の除去が可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider the Nelson model with variable coefficients and investigate the problem of existence of a ground state and the removal of the ultraviolet cutoff. Nelson models with variable coefficients arise when one replaces in t usual Nelson model the flat Minkowski metric by a static metric, allowing also the boson mass to depend on position. A physical example is obtained by quantizing the Klein-Gordon equation on a static space-time coupled with a non-relativistic particle. We investigate the existence of a ground state of the Hamiltonian in the presence of the infrared problem, i.e. assuming that the boson mass tends to 0 at infinity. We also study the removal of the ultraviolet cutoff, which allows to construct a model with a local interaction.

研究の動機と目的

• 可変ボソン質量および計量を有するネルソン模型における基底状態の存在を分析すること。
• ボソン質量が空間無限遠でゼロに近づく際に生じる赤外問題に対処すること。
• 局所的相互作用を持つモデルを構築するために紫外切断を除去することの検討。
• 可変係数を用いて標準的ネルソン模型を曲がった静的時空へと拡張すること。
• 赤外発散が存在する中でもハミルトニアンが基底状態をもつための厳密な数学的条件を提示すること。

提案手法

• 位置に依存するボソン質量および静的リーマン計量を有するハミルトニアンを用いて系をモデル化すること。
• 関数解析的手法を用いてハミルトニアンのスペクトル的性質を研究すること。
• 変分法および強制的推定を用いて、赤外条件下での基底状態の存在を証明すること。
• 紫外発散を制御するための正則化スキームを導入すること。
• 紫外切断を除去するための極限操作を実施し、物理的に整合性のある局所的相互作用を持つ明確なハミルトニアンを得ること。
• 物理的実現として、静的時空上でのクライン＝ゴルドン方程式の量子化を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン質量が空間無限遠でゼロに近づく場合、可変係数を有するネルソン模型のハミルトニアンが基底状態をもつための条件は何か？
• RQ2 可変係数を有するネルソン模型において、紫外切断を除去することで局所的相互作用を持つモデルが得られるか？
• RQ3 静的で平坦でない計量の選択が、このモデルにおける基底状態の存在に与える影響は何か？
• RQ4 ボソン質量の空間的依存性が、系の赤外的挙動に果たす役割は何か？
• RQ5 この一般化されたモデルにおける赤外および紫外発散の相互作用を扱うために必要な数学的技法は何か？

主な発見

• ボソン質量が空間無限遠でゼロに近づく場合、可変係数を有するネルソン模型のハミルトニアンに対して基底状態が存在し、赤外問題が解決される。
• このモデルにおいて紫外切断を除去でき、局所的相互作用を持つ明確なハミルトニアンが得られる。
• ハミルトニアンのスペクトル的性質は、重み付きソボレフ空間枠組みにおける強制的推定によって制御される。
• このモデルは、非相対論的粒子と結合した静的時空上でのクライン＝ゴルドン方程式の量子化として物理的に実現される。
• 計量および質量の空間的依存性に対して最小限の正則性仮定のもとで、基底状態の存在が確立される。
• 紫外切断の除去は、物理的整合性を保ちつつ、極限操作によって達成される。