[論文レビュー] Inhomogeneous Diophantine Approximation on $M_0$-sets with restricted denominators

Andrew Pollington, Sanju Velani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、制限された分母をもつ $M_0$-集合における定量的非一様ディオファントス近似定理を確立する。lacunary列 $\mathcal{A} = (q_n)$ と、Fourier変換の減衰 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$（$A > 2$）を満たす測度 $\mu$ に対して、$\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、列 $(q_n x \mod 1)$ が固定された $\gamma$ の周囲の収縮する球 $B(\gamma, \psi(q_n))$ を期待される回数だけ通過することが示される。この結果は、古典的な一様分布論を収縮する標的および制限された分母へと拡張する。

ABSTRACT

Let $F \subseteq [0,1]$ be a set that supports a probability measure $μ$ with the property that $ |\widehatμ(t)| \ll (\log |t|)^{-A}$ for some constant $ A > 0 $. Let $\mathcal{A}= (q_n)_{n\in \mathbb{N}} $ be a sequence of natural numbers. If $\mathcal{A}$ is lacunary and $A >2$, we establish a quantitative inhomogeneous Khintchine-type theorem in which (i) the points of interest are restricted to $F$ and (ii) the denominators of the `shifted' rationals are restricted to $\mathcal{A}$. The theorem can be viewed as a natural strengthening of the fact that the sequence $(q_nx { m \ mod \, } 1)_{n\in \mathbb{N}} $ is uniformly distributed for $μ$ almost all $x \in F$. Beyond lacunary, our main theorem implies the analogous quantitative result for sequences $\mathcal{A}$ for which the prime divisors are restricted to a finite set of $k$ primes and $A > 2k$.

研究の動機と目的

• 制限された分母をもつ $M_0$-集合における古典的非一様ディオファントス近似を拡張すること。
• lacunary列および収縮する標的に対して、Davenport–Erd\'os–LeVeque定理の定量的バージョンを確立すること。
• $\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、$M_0$-集合上での測度 $\mu$ のFourier変換の減衰率が、$ (q_n x \mod 1) $ の一様分布を保証する条件を特定すること。
• lacunary列を超えた、$k$ 個の素数に限定された素因数をもつ列に対し、より強い減衰条件 $A > 2k$ の下で結果を一般化すること。

提案手法

• 一様分布の可測性をFourier変換 $\widehat{\mu}(t)$ の減衰率と結びつけるために、Davenport–Erd\'os–LeVequeの基準の使用。
• 一様分布が失敗する集合を特徴づけるために、$W^*$-集合の $\mu$-測度の応用。
• 固定された $\gamma \in [0,1]$ の周囲の収縮する球 $B(\gamma, \psi(q_n))$ をモデル化するための収縮標的関数 $\psi(q_n)$ の導入。
• 区間の収縮に対するヒット回数を制御するための、$s_n = q_n - q_{n-1}$ と部分和 $S_n$ を含む和の推定。
• 収束条件を導くために、$\sum s_n / S_n$ および $\sum s_n / S_n^2$ に対する対数的および調和型の評価の使用。
• 測度 $\mu$ と標的サイズ $\psi(q_n)$ に関連する、$(q_n x \mod 1)$ の不等分布度の定量的推定の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度 $\mu$ のFourier変換の減衰率がどのような条件下で、$\mu$-ほとんど everywhere の $x \in F$ に対して、列 $(q_n x \mod 1)$ が一様分布するか？
• RQ2 分母が lacunary列 $\mathcal{A}$ に制限される場合、古典的な非一様Khintchineの定理を収縮する標的を許容するように強化できるか？
• RQ3 収縮する球 $B(\gamma, \psi(q_n))$ の期待される通過頻度を保証するための、$|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$ の最小減衰率 $A$ は何か？
• RQ4 lacunary列から、$k$ 個の素数に限定された素因数をもつ列へと結果を拡張するにはどうすればよいか？

主な発見

• lacunary列 $\mathcal{A}$ および $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$（$A > 2$）を満たす $\mu$ に対して、$\mu$-ほとんど everywhere の $x \in F$ に対して、列 $(q_n x \mod 1)$ は収縮する球 $B(\gamma, \psi(q_n))$ を期待される回数だけ通過する。
• この結果は、$|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log\log|t|)^{-(1+\epsilon)}$（ある $\epsilon > 0$）を満たすならば、$\mu$-ほとんど everywhere の $x \in F$ が正規数であることを示唆する。
• 素因数が $k$ 個の素数に制限された列 $\mathcal{A}$ に対しては、$A > 2k$ の条件下で結果が成り立つ。これはlacunary列を超えた一般化である。
• 主な技術的道具は、$\tilde{S}_k = \max(\gamma, S_k)$ を用いた和 $\sum_{k=a}^b \frac{s_k}{\tilde{S}_k}$ の評価であり、これは収縮標的における不等分布度を制御する。
• 本稿は、制限された分母と収縮標的をもつ Davenport–Erd\'os–LeVeque定理の定量的バージョンを確立し、古典的結果を改善する。
• 証明は、対数的および調和型不等式を用いて $\sum s_k / S_k$ と $\sum s_k / S_k^2$ を推定し、不等分布度級数の収束を導く。