[論文レビュー] Inhomogeneous Dirichlet problems involving the infinity-Laplacian

Tilak Bhattacharya, Ahmed Mohammed|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Perron法と事前上限評価を組み合わせることで、無限大ラプラシアンを含む非同次ディリクレ問題に対する粘性解の存在の一般化された十分条件を確立する。任意の有界領域に対して解の存在を示し、大径の領域では解が存在しないような非同次項の明示的クラスを同定することで、先行研究における未解決問題をより鋭く、より一般化された条件で解消する。

ABSTRACT

Our purpose in this paper is to provide a self contained account of the inhomogeneous Dirichlet problem $Δ_\infty u=f(x,u)$ where $u$ takes a prescribed continuous data on the boundary of bounded domains. We employ a combination of Perron's method and a priori estimates to give general sufficient conditions on the right hand side $f$ that would ensure existence of viscosity solutions to the Dirichlet problem. Examples show that these sufficient conditions may not be relaxed. We also identify a class of inhomogeneous terms for which the corresponding Dirichlet problem has no solution in any domain with large in-radius. Several results, which are of independent interest, are developed to build towards the main results. The existence theorems provide substantial improvement of previous results, including our earlier results \cite{BMO} on this topic.

研究の動機と目的

• 無限大ラプラシアンのディリクレ問題における非同次項 f(x,t) に対する符号および単調性制限を除去すること。
• 任意の有界領域における粘性解の存在を保証する f に関する一般化された十分条件を構築すること。
• 大径の内接半径をもつ領域では解が存在しない f の明示的クラスを同定すること。
• 特に [6] の先行結果を拡張・改善し、f や領域に対する制限的な仮定を除去すること。

提案手法

• f に関する事前上限評価を用いて、適切な下解および上解を構成することで、Perron法を適応する。
• 粘性解の比較原理を用いて、下解および上解の性質を検証する。
• 径数関数を用いて、立方非線形性を伴う無限大ラプラシアンの固有値に対する明示的下限および上限を導出する。
• f の等高面集合の内接球半径および外接球半径を用いて、解の存在または非存在に関する定量的推定を導出する。
• 強力な最小原理および球内における無限大上調和関数の凹性議論を用いて、比較推定を導出する。
• 解の存在は、領域のサイズに依存しない f に関する事前上限評価を満たす場合に保証されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f(x,t) に対してどのような一般化された条件下で、任意の有界領域における無限大ラプラシアンの非同次ディリクレ問題が粘性解をもつのか？
• RQ2 f が t に関して非負、非正、または単調でない場合でも、解の存在を保証できるか？
• RQ3 f に対してどのような条件が、大径の内接半径をもつ領域で解の非存在を引き起こすのか？
• RQ4 立方非線形性を伴う無限大ラプラシアンに対して、固有値型推定をどのように導出できるか？
• RQ5 [6] の結果を、f に対する単調性および符号制限を除去することで、どの程度一般化できるか？

主な発見

• f が事前上限評価を満たす限り、符号や t に関する単調性の仮定なしに、すべての有界領域で解が存在する。
• 方程式 Δ∞u + λa(x)u³ = 0 の固有値 λ に対して、下界 λ ≥ 1/(σ³MR⁴) が成り立つ。ここで R は外接球半径、M = sup a(x) である。
• 正の固有関数に対しては、λ ≤ 4(4/3)³ / (σ³Mαρₐ⁴) が成り立つ。ここで ρₐ は集合 {x : a(x) > αM} の内接球半径であり、大 λ に対して符号変化する固有関数が存在することを示唆する。
• f が t に関して非正かつ単調減少である場合、明示的な反例により、大径の内接半径をもつ領域では解が存在しない。
• 本研究の結果は、[6] の先行結果を一般化・改善し、単調性や符号が固定された f に対して制限されていたケースを含むようになった。
• 事前評価を用いた下解および上解の構成法により、領域の幾何的形状に依存しない解の存在結果が得られ、R および ρₐ を通じてのみ依存する。