[論文レビュー] Inhomogeneous Hopf-Oleĭnik Lemma and Applications. Part IV: Sharp Krylov Boundary Gradient Type Estimates for Solutions to Fully Nonlinear Differential Inequalities with unbounded coefficients and $C^{1,Dini}$ boundary data

J. Ederson M. Braga, Diego Moreira+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界でない係数および $C^{1,Dini}$ 境界データをもつ完全非線形楕円型微分不等式に対して、鋭い Krylov 型境界勾配推定を確立する。非同次 Hopf-Olełin の補題（IHOL）の簡略化された証明を導入し、'リプシッツ性は $C^{1,\alpha}$ を意味する'アプローチを適用することで、勾配の Hölder 連続性を境界にまで拡張し、$q>n$ の $L^q$ ノルムにおける係数およびデータの関数として $u/x_n$ および $ abla u$ の定量的推定を得る。結果は、有界でない右辺および一般の非線形作用素に対して Krylov の古典的推定を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we provide another application of the Inhomogeneous Hopf-Ole\uınik Lemma (IHOL) proved in \cite{BM-IHOL-PartI} or \cite{Boyan-2}. As a matter of fact, we also provide a new and simpler proof of a slightly weaker version IHOL for the uniformly elliptic fully nonlinear case which is sufficient for most purposes. The paper has essentially two parts. In the first part, we use IHOL for unbounded RHS to develop a Caffarelli's "Lipschitz implies $C^{1,α}$" approach to prove Ladyzhenskaya-Uraltseva boundary gradient type estimates for functions in $S^{*}(γ, f)$ that vanishes on the boundary. Here, unbounded RHS means that $f\in L^{q}$ with $q>n$. This extends the celebrated Krylov's boundary gradient estimate proved in \cite{Krylov}. A Phragmén-Lindelöf classification result for solutions in half spaces is recovered from these estimates. Moreover, a Hölder estimate up to the boundary (in the half-ball) for $u(x)/x_{n}$ is obtained. In the second part, we extend the previous results for functions in $S^{*}(γ, σ, f)$ where $γ,f\in L^{q}$ with $q>n$ that have a $C^{1,Dini}$ boundary data on a $W^{2,q}$ domain. Here, we use an "improvement of flatness" strategy suited to the unbounded coefficients scenario. As a consequence of that, a quantitative version of IHOL under pointwise $C^{1,Dini}$ boundary regularity is obtained.

研究の動機と目的

• 有界でない右辺および $L^q$ 係数（$q>n$）と $C^{1,Dini}$ 境界データをもつ完全非線形楕円型不等式に対して、Krylov の古典的境界勾配推定を拡張すること。
• 一様楕円型完全非線形方程式におけるやや弱いバージョンの非同次 Hopf-Olełin の補題（IHOL）の、新たな簡略化された証明を提供し、主結果に十分な水準のものとする。
• 有界でない係数の設定において、点ごとの $C^{1,Dini}$ 境界正則性のもとで、IHOL の定量的バージョンを '平坦さの改善' 策略により確立すること。
• 半球における Phragmén-Lindelöf の分類結果を回復し、$u(x)/x_n$ の境界に沿った Hölder 連続性推定を得ること。

提案手法

• 解の境界挙動を制御するために、正規化されスケール不変な形の非同次 Hopf-Olełin の補題（IHOL）を用いる。
• L. Caffarelli の自由境界理論にインspiredされた 'リプシッツ性は $C^{1,\alpha}$ を意味する' アプローチを、境界勾配推定に適応する。
• 有界でない右辺をもつ Pucci 極値作用素に対してバリアを構成し、振動および勾配挙動を制御する。
• 有界でない係数設定に特化した '平坦さの改善' 技法を用い、$\gamma,\sigma,f\in L^q$（$q>n$）および $C^{1,Dini}$ 境界データのもとで $S^*(\gamma,\sigma,f)$ における推定を可能にする。
• dyadic スケール間での $u/x_n$ および $ abla u$ の振動推定を正規化し、Hölder 連続性を導出する。
• 幾何的議論および調和関数の勾配推定を用い、線形近似の振動を勾配の Hölder 半ノルムに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Krylov の境界勾配推定は、有界でない $L^q$ 係数および右辺（$q>n$）と $C^{1,Dini}$ 境界データをもつ完全非線形方程式へ拡張可能か？
• RQ2 境界勾配推定に十分な、完全非線形の場合に適した、非同次 Hopf-Olełin の補題の簡略化された証明は存在するか？
• RQ3 境界勾配の Hölder 半ノルムの $L^q$ ノルムにおける係数およびデータへの鋭い定量的依存関係は何か？
• RQ4 'リプシッツ性は $C^{1,\alpha}$ を意味する' アプローチは、有界でない係数をもつ非線形不等式の境界推定にどのように適応可能か？
• RQ5 半空間における Phragmén-Lindelöf 型の分類結果は、これらの新規境界勾配推定から回復可能か？

主な発見

• 鋭い境界勾配推定が確立された：$\text{osc}_{B_r^+} |\nabla u(x',0)| \leq C (r/R_0)^\alpha \left( \text{osc}_{B_{R_0}^+} (u/x_n) + \|f\|_{L^\infty(B_{R_0}^+)} \right)$。これは、$f\in L^q$（$q>n$）で有界でない場合および完全非線形作用素に対しても Krylov の結果を拡張する。
• $u/x_n$ の $B_r^+$ における振動は、$C (r/R_0)^\alpha \left( \text{osc}_{B_{R_0}^+} (u/x_n) + \|f\|_{L^q(B_{R_0}^+)} \right)$ で有界であり、境界に沿った $u/x_n$ の Hölder 連続性をもたらす。
• 点ごとの $C^{1,Dini}$ 境界正則性のもとで、IHOL の定量的バージョンが得られ、勾配の Hölder 半ノルムは $T + \omega(r_0/4)^{-1} \|A\|_{L^\infty}$ で制御される。
• 勾配 $ abla u$ が境界に沿って指数 $\alpha$ で Hölder 連続であることが示され、Hölder 半ノルムは普遍定数に $T$ と Dini モジュラス $\omega$ を含む項を乗じたもので有界である。
• 半空間における解の Phragmén-Lindelöf の分類結果は、境界勾配推定の結果として回復される。
• 主結果に十分なやや弱いバージョンの IHOL の、新たな初等的で幾何的な証明が提供され、[45, 46] の既存のバージョンよりも単純である。