[論文レビュー] Inhomogeneous Spatially Dispersive Electromagnetic Media

Jonathan Gratus, Matthew McCormack|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、位置に依存するパrameterを有する一般化された単一共鳴モデルを用いて、非一様で空間的分散を示す電磁界媒体における波動の伝播および境界挙動を調査する。ラグランジアン法および分布的（ピル・ボックス）法を用いて二種類の境界条件を導出し、それらが伝搬速度βが領域間で異なる場合に相違することを示す。また、微小な非一様性を有する周期的媒体における波パケットについて、近似解析的および数値的解を提供する。

ABSTRACT

Two key types of inhomogeneous spatially dispersive media are described, both based on a spatially dispersive generalisation of the single resonance model of permittivity. The boundary conditions for two such media with different properties are investigated using Lagrangian and distributional methods. Wave packet solutions to Maxwell's equations, where the permittivity varies and is periodic in the medium, are then found.

研究の動機と目的

• 誘電率が周期的に変化する非一様で空間的分散を示す媒体における波パケットの伝播を理解すること。
• 空間的分散性を持つ媒体の界面における、二つの異なる空間的分散特性を持つ領域間の境界条件を導出し、比較すること。
• 伝搬速度βが非ゼロかつ空間的に変化する場合に、ラグランジュ法に基づく自然境界条件と分布的（ピル・ボックス）法による結果が一貫しているかどうかを検証すること。
• 周期的空間的分散性を持つ媒体における許容周波数およびモード分布を求めるための近似解析的解および数値的手法を提供すること。
• 電磁波の伝送をモデリングする上での、異なる境界条件手法の結果の違いが、高度な誘電体ウェイクフィールド加速器に与える影響を評価すること。

提案手法

• 空間分散性を導入するために、単一共鳴誘電率モデルを一般化し、有限の伝搬速度βを導入することで、空間と時間に関する2階偏微分方程式（式2）が得られる。
• 電磁界の界面における自然境界条件を導出するために、ラグランジアン形式を用いる。
• 分布的（ピル・ボックス）法を適用して境界条件を導出し、ラグランジュ法の結果と比較する。
• 周期的媒体の場合、非一様性が小さいものと仮定する（α(x) = α₀ + α₁cos x、ただしα₁ ≪ α₀）、そして波パケット解を e²πiωt P̂(x) の形で求める。
• 摂動論を用いて、小パrameter Λ について O(Λ⁴) までにまで、偶数モードおよび奇数モードの近似解析的解を導出する。
• 無限の連立方程式系を有限な行列固有値問題（M b = 0）に切断する数値的手法を開発し、任意のΛに対して正確な解を計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ法と分布的法を用いて導出された空間的分散性を持つ媒体の境界条件は、どのように異なるか？
• RQ2 伝搬速度βが界面を越えて変化する場合に、二つの境界条件手法が一致するか、または相違する条件は何か？
• RQ3 微小な非一様性を持つ周期的空間的分散性媒体における波パケットの近似解析的解は何か？
• RQ4 分散関係およびモード分布の数値的解が、近似解析的解とどのように比較されるか？
• RQ5 周期的空間的分散性媒体における高周波数モードは、均一媒体におけるそれらに類似していると解釈できるか？

主な発見

• βが一定の場合、ラグランジュ法および分布的法は、場のÊ, Ê′, P̂ に対して同一の境界条件を与えるが、βが領域間で変化する場合にはP̂′の不連続性において相違を示す。
• β → 0 の極限において、両手法ともペカラの標準的境界条件に簡略化され、この極限でのみでは両者の区別がつかない。
• 偶数モード（ω^(e), P^(e)）および奇数モード（ω^(o), P^(o)）の二つの近似解析的解が導出され、Λが小さい範囲で有効で、k = ±1 では誤差がO(Λ⁴)、|m| ≥ 2 ではO(Λ^{|m|+1}) となる。
• 偶数モードは減衰し、媒質内では励起されないのに対し、奇数モードは同様の条件下で安定した挙動を示す。
• 無限の連立方程式系を有限な行列固有値問題に切断することで、数値的手法を実装し、任意のΛに対して正確な解を計算可能にした。
• 数値的結果から、周期的媒体における高周波数モードが均一媒体におけるそれらに類似していることが示唆されており、現在、さらなる調査が進行中である。