[論文レビュー] Initial and Boundary Value Problems for Fractional differential equations involving Atangana-Baleanu Derivative

Fatma Al-Musalhi. Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換とボルテラ積分方程式を用いて、アタンガナ＝バレアヌ分数マージン微分を含む初期値問題（IVP）に対して明示的な解析解を提示する。逐次近似法と、再帰的核を単純化する新規の補題を用いて閉形式解を導出し、その後、直交固有関数を用いた級数展開により境界値問題を解く応用を行う。

ABSTRACT

Initial value problem involving Atangana-Baleanu derivative is considered. An Explicit solution of the given problem is obtained by reducing the differential equation to Volterra integral equation of second kind and by using Laplace transform. To find the solution of the Volterra equation, the successive approximation method is used and a lemma simplifying the resolvent kernel has been presented. The use of the given initial value problem is illustrated by considering a boundary value problem in which the solution is expressed in the form of series expansion using orthogonal basis obtained by separation of variables.

研究の動機と目的

• アタンガナ＝バレアヌ分数マージン微分を含む初期値問題（IVP）の解析的解法を開発すること。
• 分数マージン微分方程式を解ける形の第二種ボルテラ積分方程式に還元すること。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数を含む再帰的核を、新たに導出された補題を用いて単純化すること。
• 分離変数法と直交基底関数を用いて、有界な空間領域における境界値問題（BVP）にIVPの解を効果的に応用すること。
• 源項に適切な正則性条件が与えられた下で、BVPの解級数の存在および一様収束性を確立すること。

提案手法

• 分数積分の定義を用いて、アタンガナ＝バレアヌ IVP を第二種ボルテラ積分方程式に変換する。
• 変換された方程式にラプラス変換を適用し、明示的な解表現を導出する。
• 逐次近似法を用いてボルテラ積分方程式を解き、再帰的核を導出する。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数 $ E^i_{eta,eta} $ を含む再帰的核を単純化する新規の補題を導入する。
• 変数分離法を用いて、1次元 BVP に IVP の解を適用し、時間依存係数を有するフーリエ正弦級数に展開する。
• $ \sin(k\pi x) $ の直交性を用いて、偏微分方程式を時間に関する分数階常微分方程式の系に還元し、各方程式を IVP の解法により解けるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アタンガナ＝バレアヌ分数マージン微分を含む初期値問題は、積分変換と近似法を用いてどのように明示的に解けるか？
• RQ2 このような分数マージン IVP から導かれるボルテラ積分方程式における再帰的核の構造は何か？また、それを単純化できるか？
• RQ3 IVP の解析的解は、有界領域における境界値問題に効果的に応用できるか？
• RQ4 BVP の級数解が一様収束する条件は何か？また、源項に必要な正則性仮定は何か？
• RQ5 核におけるミタグ・レフラー関数の使用が、解の挙動および安定性にどのように影響するか？

主な発見

• ラプラス変換と逐次近似法を用いて、アタンガナ＝バレアヌ IVP $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(t) - \lambda u(t) = f(t), \, u(0) = u_0 $ に対して明示的解が導出された。
• 再帰的核を一般化されたミタグ・レフラー関数に単一項として表現する新規の補題が確立され、計算の複雑さが顕著に低減された。
• IVP の解が1次元空間領域における境界値問題に応用され、時間依存係数を有するフーリエ正弦級数として解が表現された。
• 源項に $ f(x,0) = 0 $, $ f(0,t) = f(1,t) = 0 $, $ f_t(x,t) \in L^1[0,T] $, および $ f_x(x,t) \in L^2[0,1] $ の条件が与えられた下で、BVP の級数解は一様収束する。
• ミタグ・レフラー関数の評価とベッセルの不等式を用いて、 $ u(x,t) $, $ u_{xx}(x,t) $, および $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(x,t) $ の一様収束性が厳密に確立された。
• $ \{ \sin(k\pi x) \} $ の完全性を用いて、解の一意性が証明された。