[論文レビュー] Initial and Boundary Value Problems for the Caputo Fractional Self-Adjoint Difference Equations

Kevin Ahrendt, Lydia DeWolf+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自己随伴ナブラ分数階差分方程式（Caputo型分数階差分、$\nu \in (0,1]$）の初期値問題および境界値問題（IBVP）の理論を展開する。解の存在および一意性の定理を確立し、定数変化法に用いるためのコーシー関数を導入し、スツルム＝リウヴィル型境界条件におけるグリーン関数を導出し、非線形BVP解析に不可欠な主要な不等式を証明する。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of initial and boundary value problems for the self-adjoint nabla fractional difference equation containing a Caputo fractional nabla difference that is given by \[ abla[p(t+1) abla_{a*}^νx(t+1)] + q(t)x(t) = h(t), \] where $0 < ν\leq 1$. We give an introduction to the nabla fractional calculus with Caputo fractional differences. We investigate properties of the specific self-adjoint nabla fractional difference equation given above. We prove existence and uniqueness theorems for both initial and boundary value problems under appropriate conditions. We introduce the definition of a Cauchy function which allows us to give a variation of constants formula for solving initial value problems. We then show that this Cauchy function is important in finding a Green's function for a boundary value problem with Sturm-Liouville type boundary conditions. Several inequalities concerning a certain Green's function are derived. These results are important in using fixed point theorems for proving the existence of solutions to boundary value problems for nonlinear fractional equations related to our linear self-adjoint equation.

研究の動機と目的

• ナブラ分数階差分におけるCaputo型分数階差分を含む初期値問題および境界値問題の厳密な理論的枠組みを確立すること。
• 離散分数階微分積分学における自己随伴分数階差分方程式の体系的取り扱いの不足を補うこと。
• 線形および非線形分数階差分方程式を解くためのツール（コーシー関数およびグリーン関数）を構築すること。
• 非線形BVPにおける固定点法の支援に寄与するグリーン関数の基礎的不等式を提供すること。
• Caputo定義を自己随伴的文脈に特化して、離散分数階微分積分学を拡張すること。

提案手法

• 分数階差分と差分の定義に基づくナブラ分数階微分積分の枠組みを用い、Caputo型分数階差分を導入する。
• 離散Caputoのテイラーの定理を適用し、解を初期値および分数階差分の形で表現する。
• 初期値問題における定数変化法の公式を導出するため、コーシー関数を導入する。
• 方程式の自己随伴構造を活用して、スツルム＝リウヴィル型境界値問題のグリーン関数を導出する。
• 上昇階乗とガンマ関数を用いてグリーン関数の有界性を確立し、$\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$ を証明する。
• 分数階和分および差分の合成則を用いて、作用素の性質および解の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己随伴ナブラ分数階差分方程式（Caputo型分数階差分を含む）の初期値問題および境界値問題は、どのように定式化され、解かれるか？
• RQ2 初期値問題における定数変化法の構成において、コーシー関数が果たす役割は何か？
• RQ3 Caputo型分数階差分方程式の文脈において、スツルム＝リウヴィル型境界値問題のグリーン関数はどのように導出されるか？
• RQ4 グリーン関数の主な解析的性質、特に$L^1$ノルムの挙動は何か？
• RQ5 導出されたグリーン関数の不等式は、非線形分数階差分方程式における解の存在理論をどのように支援するか？

主な発見

• 適切な係数および駆動関数の条件下で、初期値問題および境界値問題の両方について解の存在および一意性が証明された。
• コーシー関数を用いた定数変化法の公式が確立され、初期値問題の明示的解表現が可能となった。
• スツルム＝リウヴィル型境界値問題のグリーン関数が明示的に構成され、すべての$t \in \mathbb{N}_a^b$に対して$\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$ を満たすことが示された。
• グリーン関数の境界は$t$に依存しない一様な形であり、$t = a+1$で最もきついケースが生じ、すべての$t \in \mathbb{N}_a^b$で不等式が成り立つ。
• 導出されたグリーン関数の不等式は、非線形分数階差分方程式における解の存在を示す固定点定理の適用に不可欠な役割を果たす。
• 古典的離散微分積分学を分数階自己随伴系に拡張し、離散分数階設定における非線形解析のためのツールを提供した。