[論文レビュー] Initial-boundary value problem for integrable nonlinear evolution equations with $3 imes 3$ Lax pairs on the interval

Xu Jian, Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限区間における3×3 Lax対を備えた可積分非線形発展方程式の初期境界値問題を解くための統一的変換法を開発する。解は、スペクトル関数 s(k)、S(k)、S_L(k) で定義されるジャンプ行列を有するリーマン＝ヒルベルト問題として定式化され、未知境界値を初期データおよび境界データの観点から特徴付けるためのグローバル関係を確立する。無限大の長さへの極限において半直線の結果が回復される。

ABSTRACT

We present an approach for analyzing initial-boundary value problems which is formulated on the finite interval ($0\le x\le L$, where $L$ is a positive constant) for integrable equations whose Lax pairs involve $3 imes 3$ matrices. Boundary value problems for integrable nonlinear evolution PDEs can be analyzed by the unified method introduced by Fokas and developed by him and his collaborators. In this paper, we show that the solution can be expressed in terms of the solution of a $3 imes 3$ Riemann-Hilbert problem. The relevant jump matrices are explicitly given in terms of the three matrix-value spectral functions $s(k)$,$S(k)$ and $S_L(k)$, which in turn are defined in terms of the initial values, boundary values at $x=0$ and boundary values at $x=L$, respectively. However, these spectral functions are not independent, they satisfy a global relation. Here, we show that the characterization of the unknown boundary values in terms of the given initial and boundary data is explicitly described for a nonlinear evolution PDE defined on the interval. Also, we show that in the limit when the length of the interval tends to infity, the relevant formulas reduce to the analogous formulas obtained for the case of boundary value problems formulated on the half-line.

研究の動機と目的

• 有限区間における3×3 Lax対を有する可積分PDEの初期境界値問題（IBVP）へ、Fokasの統一法を拡張すること。
• グローバル関係を用いて、与えられた初期データおよび境界データの観点から未知境界値を特徴付けること。
• スペクトル関数 s(k)、S(k)、S_L(k) に依存するジャンプ行列を有するリーマン＝ヒルベルト問題として、明示的な解の公式を導出すること。
• L→∞の極限において、解の公式が既知の半直線の結果に還元されることを示すこと。

提案手法

• 初期データおよび境界データから導出される contour 積分を含む積分方程式を用いて、4つの正則固有関数 M_n(x,t,k) を構築する。
• 複素 k 平面上の3×3行列リーマン＝ヒルベルト問題を定式化し、スペクトル関数 s(k)、S(k)、S_L(k) で定義されるジャンプ行列を導入する。
• スペクトル関数を区別し、それらを関連付けるためにグローバル関係に要因 1/Δ を導入し、未知境界値の特徴付けを可能にする。
• 摂動的展開を用いて境界データをすべての次数で計算し、g_{ij}^{(1)} および f_{ij}^{(1)} の境界値 x=0 および x=L における明示的な積分表現を導出する。
• 非線形的急降下法を用いて、リーマン＝ヒルベルト定式化に基づく解の漸近的挙動を分析する。
• 境界項が消え、スペクトル関数が半直線の形に還元されることを示すことにより、L→∞ の極限において半直線の結果と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fokasの統一法を半直線から有限区間の3×3 Lax対系の初期境界値問題へどのように拡張できるか。
• RQ2 有限区間におけるこのような系のリーマン＝ヒルベルト問題の構造は何か。ジャンプ行列はどのように定義されるか。
• RQ3 グローバル関係を用いて、既知の初期データおよび境界データの観点から未知境界値をどのように特徴付けることができるか。
• RQ4 有限区間におけるスペクトル関数の区別に、グローバル関係における要因 1/Δ が果たす役割は何か。
• RQ5 解の公式が L→∞ の極限において、既知の半直線の結果にどのように還元されるか。

主な発見

• IBVPの解は、スペクトル関数 s(k)、S(k)、S_L(k) で明示的に定義されるジャンプ行列を有する3×3行列リーマン＝ヒルベルト問題の解として表現される。
• 未知境界値は、要因 1/Δ を含むグローバル関係を介して特徴付けられ、初期データおよび境界データからの明示的再構成が可能である。
• 境界値 x=0 および x=L における境界値を含む積分方程式を用いて、境界データをすべての次数で構成的に計算するための摂動的スキームが提供される。
• L→∞ の極限において、解の公式は既知の半直線の結果に還元され、従来の半直線に関する研究と整合することが確認される。
• 本手法は、3×3 Lax対系の有限区間におけるFokas法の一般化を提供し、このようなIBVPを解くための体系的フレームワークを提供する。
• 導出過程により、非線形的急降下法がこの設定における解の漸近的挙動を分析するために適用可能であることが確認される。