[論文レビュー] Initial Data Identification in Conservation Laws and Hamilton-Jacobi Equations

Rinaldo M. Colombo, Vincent Perrollaz|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元のスカラー保存則およびハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、固定された正の時刻で与えられたプロファイルに進化する初期データの完全な特徴付けを提供する。特定の解プロファイルを生成する初期データの集合を同定し、その凸性、極端構造、およびトポロジー的性質（有限次元の極端的面の不在など）を証明する。

ABSTRACT

In the scalar 1D case, conservation laws and Hamilton-Jacobi equations are deeply related. For both, we characterize those profiles that can be attained as solutions at a given positive time corresponding to at least one initial datum. Then, for each of the two equations, we precisely identify all those initial data yielding a solution that coincide with a given profile at that positive time. Various topological and geometrical properties of the set of these initial data are then proved. 2000 Mathematics Subject Classification: 35L65, 35F21, 93B30, 35R30.

研究の動機と目的

• スカラー保存則およびハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、固定された正の時刻 T で与えられた解プロファイルを生成するすべての初期データを特徴付けること。
• 明示的な構成的手法を用いて、このような初期データの集合が空でないことを確立すること。
• 与えられたプロファイルを生成する初期データの集合のトポロジカルおよび幾何的構造（凸性および極端的性質を含む）を分析すること。
• 与えられたプロファイルを生成する初期データの集合が、有限次元の極端的面を持たないコーンであることを証明し、解のプロファイルが到達可能である限り、BV-正則な初期データが存在することを示すこと。
• 観測されたダイナミクスから終端または初期コストを同定することで、保存則における逆問題および最適制御のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 式 (1.1) を解く $ u $ と式 (1.2) を解く $ U $ の間の双対性 $ u = \partial_x U $ を用いて、保存則とハミルトニアン・ジャコビ方程式の関係を確立する。
• オリエニク型の減衰推定とレアファクション波の精密分析を適用し、時刻 $ T $ における与えられたプロファイルから初期データを再構成する。
• 二つの互いに素な集合 $ X_i $ と $ X_{ii} $ を導入する：$ X_i $ 上の初期データの値は一意に決定され、$ X_{ii} $ 上の値は緩い制約を受ける。
• 粘性解およびエントロピー解理論を用いて、適切な定式化を保証し、ハミルトニアン・ジャコビ方程式による解の特徴付けを行う。
• コンパクトに台を持つ関数 $ A_k $ を用いた初期データの摂動を構成し、解集合の極端性および空でない性質を証明する。
• 衝撃波を後退的に延長し、相互作用ポテンシャルを分析することで、逆方向の構成を実行し、$ (0,T) $ 上で一定のポテンシャルを保証することで、解の一意性および正則性を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー保存則またはハミルトニアン・ジャコビ方程式のどの初期データが、固定された時刻 $ T > 0 $ で与えられた解プロファイルに進化するか？
• RQ2 このような初期データの集合のトポロジカルおよび幾何的構造（特に凸性および極端的点に関して）は何か？
• RQ3 解プロファイルが有界変動でない初期データから生じても、常にそのプロファイルを生成するBV-正則な初期データを常に見つけられるか？
• RQ4 与えられたプロファイルを生成する初期データの集合が有限次元の極端的面を含むか、それとも無限次元構造を持つコーンであるか？
• RQ5 衝撃波およびレアファクション波が存在する状況において、与えられた解プロファイルを生成する初期データを明示的に構成できるか？

主な発見

• 与えられたプロファイル $ w $ を時刻 $ T $ で生成する初期データの集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ が空でないための必要十分条件は、レアファクション波の減衰および衝撃波の伝播に関する構造的条件から導かれる。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ は凸であり、その唯一の極端点は、すべての衝撃波を時間的に後退させて得られる初期データとして完全に特徴付けられる。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ は、有限次元の極端的面を持たないコーンであり、これは与えられたプロファイルに対して初期データを選ぶ自由度が無限次元であることを示している。
• 解作用素の像に属する任意のプロファイル $ w $ に対して、$ \mathbf{BV}({\mathbb{R}};{\mathbb{R}}) $ に属する初期データが存在し、それがそのプロファイルを生成する。これは、元の初期データが有界変動でなくても成立する。
• 集合 $ I^{ ext{CL}}_T(w) $ は常に片側リプシッツ連続関数を含み、プロファイルに応じてより滑らかな初期データも存在しうる。
• 衝撃波を後退的に延長して得られる解は、$ (0,T) $ 上で一定の相互作用ポテンシャルを持つ。これは、逆設計および制御問題における重要な構造的性質である。