[論文レビュー] Initial logarithmic Lie algebras of hypersurface singularities

Michel Granger, Mathias Schulze|ArXiv.org|Jul 11, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、超曲面特異点の初期対数的リー代数を導入し、その完全可約部分が形式的に対数的ベクトル場の線形リー代数に引き上げられることを証明する。準同次特異点の場合、この線形化は収束し、初期リー代数の半単純部分と再帰的自由除ける因子および自己同型群のレヴィ部分群との関係を結びつけて、特異点の次元に対する下界を確立する。

ABSTRACT

We introduce a Lie algebra of initial terms of logarithmic vector fields along a hypersurface singularity. Extending the formal structure theorem in [GS06, Thm. 5.4], we show that the completely reducible part of its linear projection lifts formally to a linear Lie algebra of logarithmic vector fields. For quasihomogeneous singularities, we prove convergence of this linearization. We relate our construction to the work of Hauser and M"uller [M"ul86, HM89] on Levi subgroups of automorphism groups of singularities, which proves convergence even for algebraic singularities. Based on the initial Lie algebra, we introduce a notion of reductive hypersurface singularity and show that any reductive free divisor is linear. As an application, we describe a lower bound for the dimension of hypersurface singularities in terms of the semisimple part of their initial Lie algebra.

研究の動機と目的

• 超曲面特異点の初期対数的リー代数を定義し、対数的ベクトル場の形式的近似として研究すること。
• [GS06] の形式的構造定理を拡張し、初期リー代数の完全可約部分が形式的に対数的ベクトル場の線形リー代数に引き上げられることを示すこと。
• 準同次特異点においてこの線形化が収束することを証明し、自己同型群およびレヴィ部分群の既知の結果と結びつけること。
• 再帰的超曲面特異点の概念を導入し、任意の再帰的自由除ける因子が線形的であることの証明を行うこと。
• 初期リー代数の半単純部分を用いて、特異点集合の次元に対する下界を確立すること。

提案手法

• 最大イデアルの冪によるフィルトレーションに関して、対数的ベクトル場 $ \frak{l}_D $ の関連層であるリー代数 $ \bar{\frak{l}}_D $ を初期対数的リー代数として定義する。
• 導分 $ \frak{D} $ のリー代数上のフィルトレーション $ \frak{m}^k \frak{D} $ を用い、商 $ \frak{D}_k = \frak{D} / \frak{m}^{k+1} \frak{D} $ を考え、これにリー代数構造を誘導する。
• [GS06, Thm. 5.4] の形式的構造定理を適用し、$ \bar{\frak{l}}_D $ の完全可約部分を形式的線形リー代数の対数的ベクトル場に引き上げる。
• 準同次特異点の場合、オイラー・ベクトル場の存在を用いて $ \frak{l}_D $ を $ \frak{O} \rtimes \frak{l}_f $ に分解する。ここで $ \frak{l}_f $ は関数 $ f $ を annihilate するベクトル場からなる。
• $ \frak{l}_f $ がヤコビ理想のイデアルの単位的モジュールに同型であり、アドジョイント作用に関して $ \frak{l}_f / \frak{m} \frak{l}_f $ が冪零であることを用いる。
• 半単純リー代数の表現論（例えば $ \frak{sl}_2 $-三重対や重み空間）を用い、定義方程式 $ f $ が半単純部分のカルタン部分代数に関して重みゼロでなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面特異点の初期対数的リー代数は、対数的ベクトル場の形式的線形化を構成するために用いることができるか？
• RQ2 特に準同次特異点において、初期リー代数の線形化はどのような条件下で収束するか？
• RQ3 初期リー代数の半単純部分は、特異点集合の幾何にどのように関係しているか？
• RQ4 初期リー代数と特異点の自己同型群のレヴィ部分群との間にどのような関係があるか？
• RQ5 初期リー代数を用いて再帰的自由除ける因子を定義・特徴づけることができるか？

主な発見

• 初期対数的リー代数 $ \bar{\frak{l}}_D $ の完全可約部分は、形式的に対数的ベクトル場の線形リー代数に引き上げられる。
• 準同次特異点において、この形式的線形化は収束し、対数的ベクトル場が収束的線形モデルを持つことを示唆する。
• 初期リー代数 $ \bar{\frak{l}}_D $ の半単純部分は、重み空間の構造と重みポリトープのワイル群軌道を通じて、特異点集合 $ \text{Sing} D $ の次元に対する下界を定める。
• 任意の再帰的自由除ける因子は線形的であり、その対数的ベクトル場は局所環上の線形ベクトル場によって張られる。
• 初期リー代数の半単純部分のカルタン部分代数 $ \frak{h} $ に関して、特異点の定義方程式 $ f $ は重みゼロの $ \frak{h} $-同次である必要がある。
• 特異点集合 $ \text{Sing} \bar{D} $ は、重みポリトープ $ W $ の facet $ C $ の外側の重みを持つすべての変数によって定義される線形空間を含む。ただし、$ d(C) = M_k(\frak{g}, V) $ を満たすものとする。