[論文レビュー] Injective and projective Hilbert C*-modules, and C*-algebras of compact operators

Michael Frank, Vern I. Paulsen|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、固定された係数C*-代数上の単射的および射影的ヒルベルトC*-加群を、収縮的写像ではなく有界加群写像に焦点を当てて調査する。すべてのヒルベルトC*-加群がコンパクト作用素のC*-代数上では単射的かつ射影的であることを示し、加群論的性質を通じてそのようなC*-代数の同値な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We consider projectivity and injectivity of Hilbert C*-modules in the categories of Hilbert C*-(bi-)modules over a fixed C*-algebra of coefficients (and another fixed C*-algebra represented as bounded module operators) and bounded (bi-)module morphisms, either necessarily adjointable or arbitrary ones. As a consequence of these investigations, we obtain a set of equivalent conditions characterizing C*-subalgebras of C*-algebras of compact operators on Hilbert spaces in terms of general properties of Hilbert C*-modules over them. Our results complement results recently obtained by B. Magajna, J. Schweizer and M. Kusuda. In particular, all Hilbert C*-(bi-)modules over C*-algebras of compact operators on Hilbert spaces are both injective and projective in the categories we consider. For more general C*-algebras we obtain classes of injective and projective Hilbert C*-(bi-)modules.

研究の動機と目的

• すべてのヒルベルトC*-加群が有界A-加群写像の圏において単射的または射影的であるようなC*-代数を特徴付けること。
• バナッハ空間および加群における古典的な単射性・射影性の概念を、収縮的でない有界写像を含むヒルベルトC*-加群へと拡張すること。
• 随伴可能写像と一般の有界写像の間の単射性の違い、特に直交補空間との関係を明確にすること。
• コンパクト作用素代数のヒルベルトC*-加群の単射性および射影性によって特徴付けられるC*-代数を特定する一連の同値条件を提供すること。
• ヒルベルトC*-加群理論における未解決問題、特に非射影的加群の存在や非分裂完全系列の存在を扱うこと。

提案手法

• 固定されたC*-代数A上のヒルベルトC*-加群の圏において単射性と射影性を定義する。対象はヒルベルトC*-加群、部分対象は閉部分加群、準同型は有界A-加群写像とする。
• 拡張性質を用いる：対象Iが単射的であるとは、任意の部分加群M ⊆ NからIへの有界A-加群写像がN上への有界写像に拡張可能であることを意味する。
• 随伴可能性の役割を分析する：包含写像が随伴可能であると仮定すれば、部分加群は直交補空間をもち、すべてのヒルベルトC*-加群が単射的になる。
• ヒルベルト空間上のコンパクト作用素のC*-代数に対して、すべてのヒルベルトC*-加群が単射的かつ射影的であることを、コンパクト作用素の構造を活用して確立する。
• 全射的有界加群写像に対する右逆の存在を、コンパクト作用素代数の短完全系列の分裂性に関連付ける。
• 左乗算子および一般化逆（例：SS⁺S = Sを満たすS⁺）の理論を用いて、有界写像から生じるノルム閉じたイデアルがいつ現れるかを分析し、射影性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのC*-代数Aに対して、すべてのヒルベルトA-加群が有界A-加群写像の圏において単射的であるか？
• RQ2 有界加群写像の圏において、特に写像が随伴可能でない場合に、ヒルベルトC*-加群がいつ射影的であるか？
• RQ3 写像が収縮的写像に制限された場合と一般の有界写像の場合とで、ヒルベルトC*-加群の単射性はどのように異なるか？
• RQ4 特定のC*-代数上に非射影的ヒルベルトC*-加群が存在しうるか？そのような加群はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 ヒルベルトC*-加群間の全射的有界A-加群写像Tが有界右逆をもつのはいつか？これは完全系列の分裂性とどのように関係するか？

主な発見

• ヒルベルト空間上のコンパクト作用素のC*-代数上でのすべてのヒルベルトC*-加群は、有界A-加群写像の圏において単射的かつ射影的である。
• 部分加群の包含写像が随伴可能であると仮定すれば、その部分加群は直交補空間をもち、すべてのヒルベルトC*-加群が単射的になる。
• 有界写像の圏では収縮的写像の圏よりも理論が複雑になる。例えば、ヒルベルト空間は有界写像の圏において単射的であるが、収縮的写像の圏ではそうではない。
• 全射的有界A-加群写像Tに対して有界右逆が存在することは、T·K_A(M⊕N)がK_A(M⊕N)の位相的和分解であることに等しい。これは、像が直交和分解である場合に成立する。
• 随伴可能な全射的写像に対して、SS⁺S = Sを満たす一般化逆S⁺が存在すれば、像はノルム閉じており、これは完全系列の分裂に重要な条件である。
• 非射影的ヒルベルトC*-加群の問題は、有界右逆を持たない全射的有界A-加群写像の存在に等しく、非随伴的写像に対しては未解決の問題のままである。