[論文レビュー] Injective envelopes and local multiplier algebras of C*-algebras

Michael Frank|ArXiv.org|Oct 21, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意のC*-代数$ A $の局所乗算子代数$ M_{\text{loc}}(A) $が、$ A $の標準的埋め込みが一致するように、可解的包絡$ I(A) $に*-同型的に埋め込めることが確立されている。主な結果として、$ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $であることは、$ A $が可換であることと同値であり、$ A $と$ M_{\text{loc}}(A) $の可解的包絡は常に一致する。

ABSTRACT

The local multiplier C*-algebra M_{loc}(A) of any C*-algebra A can *-isomorphicly embedded into the injective envelope I(A) of A in such a way that the canonical embeddings of A into both these C*-algebras are identified. If A is commutative then M_{loc}(A) = I(A) . The injective envelopes of A and M_{loc}(A) always coincide, and every higher order local multiplier C*-algebra of A is contained in the regular monotone completion \bar{A} in I(A) of A . In case the set Z(A).A is dense in A the center of the local multiplier C*-algebra of A is the local multiplier C*-algebra of the center of A, and both they are *-isomorphic to the injective envelope of the center of A . A Wittstock type extension theorem for completely bounded bimodule maps on operator bimodules taking values in M_{loc}(A) is proven to hold if and only if M_{loc}(A) = I(A). In general, a solution of the problem for which C*-algebras A the C*-algebras M_{loc}(A) is injective is shown to be equivalent to the solution of I. Kaplansky's 1951 problem whether all AW*-algebras are monotone complete.

研究の動機と目的

• 局所乗算子代数とC*-代数の可解的包絡との間の構造的関係を調査すること。
• 局所乗算子代数$ M_{\text{loc}}(A) $が可解的包絡$ I(A) $と一致する条件を特定すること。
• 特に$ Z(A)A $が$ A $において稠密であるとき、$ A $の中心が$ M_{\text{loc}}(A) $の構造に果たす役割を検討すること。
• $ M_{\text{loc}}(A) $が可解的であるための特徴づけを確立し、AW*-代数の単調完備性に関するカプランスキー1951年の問題と関連付けること。

提案手法

• $ A $の両代数への標準的埋め込みを一致させる$ M_{\text{loc}}(A) $から$ I(A) $への*-同型写像を構成すること。
• 可解的包絡の理論と$ I(A) $内での正規単調完備化を用いて包含関係を分析すること。
• $ M_{\text{loc}}(A) $への完全有界双加法的写像のWittstock型拡張定理を適用し、$ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $のときのみ成立することを示すこと。
• $ A $の中心を用いて$ M_{\text{loc}}(A) $の中心を分析し、稠密性条件下で$ Z(M_{\text{loc}}(A)) \cong M_{\text{loc}}(Z(A)) $を証明すること。
• $ A $の高階の局所乗算子代数が、$ I(A) $における$ A $の正規単調完備化$ \bar{A} $に含まれることを示すこと。
• $ M_{\text{loc}}(A) $の可解性の問題を、カプランスキー1951年のAW*-代数の単調完備性問題に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所乗算子代数$ M_{\text{loc}}(A) $が$ A $の可解的包絡$ I(A) $に*-同型となるのはどのような条件下か？
• RQ2 $ A $の可解的包絡が$ M_{\text{loc}}(A) $の可解的包絡と一致するのはいつか？
• RQ3 特に$ Z(A)A $が$ A $において稠密であるとき、$ M_{\text{loc}}(A) $の中心と$ A $の中心の局所乗算子代数との関係は何か？
• RQ4 どのC*-代数$ A $に対して$ M_{\text{loc}}(A) $が可解的であり、それはカプランスキー1951年の問題とどのように関連するか？
• RQ5 完全有界双加法的写像へのWittstock型拡張定理が$ M_{\text{loc}}(A) $に成り立つのは、$ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $であるときのみであるか？

主な発見

• 局所乗算子代数$ M_{\text{loc}}(A) $は、$ A $の標準的埋め込みが一致するように、可解的包絡$ I(A) $に*-同型的に埋め込める。
• $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $であることは、$ A $が可換であることと同値である。
• $ A $と$ M_{\text{loc}}(A) $の可解的包絡は常に同型である。
• $ A $の任意の高階の局所乗算子代数は、$ I(A) $内での$ A $の正規単調完備化$ \bar{A} $に含まれる。
• $ Z(A)A $が$ A $において稠密であるとき、$ M_{\text{loc}}(A) $の中心は$ M_{\text{loc}}(Z(A)) $に*-同型であり、両者とも$ I(Z(A)) $に*-同型である。
• 完全有界双加法的写像へのWittstock型拡張定理が$ M_{\text{loc}}(A) $に成り立つのは、$ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $であるときのみである。