[論文レビュー] Injective Metrics on Cube Complexes

Benjamin Miesch|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限次元のCAT(0)キューブ複体で、幅が有限で、超平面が有限彩色可能であるものについて、キューブ上の$l_∞$-ノルムによる単射的距離が存在することを確立する。このような複体が単射的であるための必要十分条件が、CAT(0)であることであることを証明し、Bridsonの定理を$l_p$-ノルムへ一般化するとともに、単射的キューブ複体を特徴付けるために「正則収縮性」という新しい概念を導入する。

ABSTRACT

For locally finite CAT(0) cube complexes it is known that they are injectively metrizable choosing the $l_\infty$-norm on each cube. In this paper we show that cube complexes which are injective with respect to this metric are always CAT(0). Moreover we give a criterion for finite dimensional CAT(0) cube complexes with finite width to posses an injective metric. As a side result we prove a modification of Bridson's Theorem for cube complexes saying that finite dimensional cube complexes with $l_p$-norms on the cubes are geodesic.

研究の動機と目的

• キューブ上の$l_∞$-ノルムを用いて、CAT(0)キューブ複体が単射的距離をもつための条件を同定すること。
• キューブ複体上の$l_p$-ノルムへ、Bridsonの測地的完備性に関する定理を一般化すること。
• キューブ複体における「正則収縮性」という新しい概念を導入し、単射的距離空間の新クラスを特徴付けること。
• 超平面構造を用いて、CAT(0)キューブ複体が単射的に計量可能であるための必要十分条件を確立すること。
• $l_∞$-距離の単射性とCAT(0)性の関係を明確にし、それが一般には非対称であることを示すこと。

提案手法

• 各キューブにおける$l_p$-ノルムを用いて、キューブ複体全体にグローバルな距離を定義し、すべての$p \in [1, \infty]$に対して完備性および測地的性質を証明する。
• Gromovのリンク条件を適用して、$d_2$-距離がCAT(0)性を満たすことを検証し、$d_\infty$-距離の単射性と結びつける。
• 「正則収縮性」を再帰的構成として導入：直前の段階の立方体$L_i$に$L_i \times [0,1]$を貼り付けることで複体を構築する。
• 極端な超平面によって境界づけられる最小の半空間への射影写像を用いて、複体をより単純な成分に分解する。
• 超平面の彩色を用いて、収縮過程における最小半空間の互いに交差しないことを保証し、帰納的構成を可能にする。
• 幾何的実現の間の同型を適用して、複体が$|p(H)| \times [0,1]$の和集合に等長であることを示し、単射性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元のCAT(0)キューブ複体が$l_\infty$-ノルムに関して単射的に計量可能であるための条件は何か？
• RQ2 キューブ複体上の$l_\infty$-距離が単射的であるならば、その複体はCAT(0)であると結論づけられるか？
• RQ3 キューブ複体上の$l_p$-距離がすべての$p \in [1, \infty]$に対して測地的であるか？
• RQ4 超平面の構造的条件（例：有限彩色可能性、有限幅）が、CAT(0)キューブ複体が正則に収縮可能であることを保証するにはどのようなものか？
• RQ5 すべての単射的距離をもつCAT(0)キューブ複体を特徴づける方法はあるか？

主な発見

• 任意の有限次元キューブ複体について、$p \in [1, \infty]$のすべての$p$に対して$l_p$-距離は完備な測地的空間を誘導し、Bridsonの定理を一般化する。
• キューブ複体上の$l_\infty$-距離が単射的であるならば、$l_2$-距離により複体はCAT(0)であるが、逆は一般には成り立たない。
• キューブ複体が正則に収縮可能であることと、CAT(0)であること、幅が有限であること、超平面が有限彩色可能であることとは同値である。
• 幅が有限で、超平面が有限彩色可能なCAT(0)キューブ複体は、$l_\infty$-距離が単射的であるための必要十分条件が、その複体がCAT(0)であることである。
• 正則に収縮可能な複体の幾何的実現は、$|p(H)| \times [0,1]$の和集合に等長であり、単射性が保たれる。
• 正則収縮性の構成により、局所有限でない単射的距離空間の構築が可能となる。