[論文レビュー] Injective modules over some rings of Differential operators

Tony J. Puthenpurakal|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上での微分作用素環の特定の環——特にウェイラー代数、形式的べき級数環、収束べき級数環——における単射左加群が、それぞれの基本多項式環またはべき級数環としても単射であることを確立する。主な結果は、微分作用素環が基本環上の加群として射影的であることを示すことに依存し、これにより単射性の移行が可能になる。この結果を応用して、局所コホモロジーのメイヤー＝ビエトリス系列における接続準同型が $A_n(K)$-線形であることを証明する。

ABSTRACT

Let $R$ be a regular domain containing a field $K$ of characteristic zero and let $D$ be the ring of $K$-linear differential operators on $R$. Let $E$ be an injective left $D$-module. We ask the question, when is $E$ injective as a $R$-module? We show that this is indeed the case when $R = K[X_1,...,X_n]$ or $R = K[[X_1,...,X_n]]$ or $R = \mathbb{C}\{z_1,...,z_n\}$. We also give an application of our result to local cohomology.

研究の動機と目的

• 微分作用素環上の単射左加群が、基本環上の加群としても単射である条件を特定すること。
• 局所コホモロジーにおける主要な未解決問題に取り組む：局所コホモロジー加群のメイヤー＝ビエトリス系列における接続準同型が $A_n(K)$-線形であるかどうか。
• より大きな環上の単射性が部分環上でも単射性を保つ条件を一般化すること、特に微分作用素の文脈において。
• 基本正則環上の加群として見たとき、微分作用素環上の分解不能単射加群の構造を分析すること。

提案手法

• 左ネーター的環 $S$ が正則な可換環 $R$ を部分環として含み、かつ $S$ が右 $R$-加群として射影的であるならば、任意の単射左 $S$-加群は $R$-加群としても単射であることを証明する。
• 技術的基準を用いる：$R$-加群 $E$ が単射であるための必要十分条件は、すべての正則列で生成されるイデアル $J$ に対して $\operatorname{Ext}^1_R(R/J, E) = 0$ が成り立つこと。
• $R = K[X_1,\dots,X_n]$、$R = K[[X_1,\dots,X_n]]$、または $R = \mathbb{C}\{z_1,\dots,z_n\}$ 上の微分作用素環が、必要な仮定を満たすことを示し、特に $I^r s \subseteq S I$ を満たす条件 $(*)$ を含む。
• 主要定理を応用して、$R = K[X_1,\dots,X_n]$ 上の局所コホモロジー加群のメイヤー＝ビエトリス系列が $A_n(K)$-加群の複体であることを示す。
• 単射 $S$-加群を $R$-加群として見たときの関連素イデアルを分析し、$\operatorname{Ass}_R E_S(M)$ が唯一の最大元を持つことを示す。
• コーシュル複体の構造と微分作用素の性質を用いて、微分多項式環などの例において条件 $(*)$ を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素環上の単射左加群が、基本正則環上の加群としても単射である条件は何か？
• RQ2 局所コホモロジーのメイヤー＝ビエトリス系列における接続準同型 $\delta^i$ は $A_n(K)$-線形か？
• RQ3 分解不能単射 $S$-加群 $E_S(M)$ を $R$-加群として見たとき、関連素イデアルの構造はいかなるものか？
• RQ4 $S$-加群としての単射性が、$S$ が右 $R$-加群として射影的であることによってどのように依存するか？
• RQ5 微分作用素環に対して、$I^r s \subseteq S I$ を保証する条件 $(*)$ は成り立つか？

主な発見

• $R = K[X_1,\dots,X_n]$、$R = K[[X_1,\dots,X_n]]$、または $R = \mathbb{C}\{z_1,\dots,z_n\}$ のとき、$A_n(K)$-加群としての単射左加群は $R$-加群としても単射である。
• 局所コホモロジー系列におけるメイヤー＝ビエトリス接続準同型 $\delta^i$ は $A_n(K)$-線形である。
• 分解不能単射 $S$-加群 $E_S(M)$ に対して、関連素イデアルの集合 $\operatorname{Ass}_R E_S(M)$ は唯一の最大元 $P$ を持ち、かつ $P \in \operatorname{Ass}_R M$ である。
• $S$ が $R$-代数として有限生成かつコhen-Macaulay であり、$\mathfrak{m}$ が $S$ の極大イデアルであるとき、$E_S(S/\mathfrak{m}) \cong E_R(R/\mathfrak{n})^{\ell_R(S/Q_1)}$ が成り立つ。ここで $\mathfrak{n} = \mathfrak{m} \cap R$ かつ $Q_1$ は $\mathfrak{n}S$ の $\mathfrak{m}$-主成分である。
• ウェイラー代数や微分多項式環を含む微分作用素環に対して、条件 $(*)$ が成り立つ。これにより、任意の $S$-加群 $M$ に対して $\Gamma_I(M)$ が $S$-部分加群となることが保証される。
• ウェイラー代数 $A_n(K)$ は $R = K[X_1,\dots,X_n]$ 上で自由（したがって射影的）である。これは主要定理の成立に不可欠である。