[論文レビュー] Injective resolutions of BG and derived moduli spaces of local systems

Mikhail Kapranov|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分類スタック BG の単射分解を用いて、位相空間上の局所系の導来モジュライ空間を構成し、古典的モジュライ空間を導来的な意味で滑らかに拡張する。主な貢献は、デリーニ、ドリンフェルト、コンツェビッチが提唱したように、接複体が H¹ だけでなく、完全な層の無限小自己同型のコホロロジーを捉える導来的強化であり、これは局所系のモジュライ空間の導来的強化を実現するものである。

ABSTRACT

It was suggested on several occasions by Deligne, Drinfeld and Kontsevich that all the moduli spaces arising in the classical problems of deformation theory should be extended to natural "derived" moduli spaces which are always smooth in an appropriate sense and whose tangent spaces involve the entire cohomology of the sheaf of infinitesimal automorphisms, not just H^1. In this note we give an algebraic construction of such an extension for the simplest class of moduli spaces, namely for moduli of local systems (representations of the fundamental group).

研究の動機と目的

• デリーニ、ドリンフェルト、コンツェビッチが提唱したように、局所系のモジュライ空間の導来的強化を実現すること。
• 古典的モジュライ空間に存在する特異点を避ける、導来的意味で滑らかである導来モジュライ空間を構築すること。
• 接空間の記述を H¹ から、無限小自己同型の層の完全なコホロロジーに拡張すること。
• 変形問題の最も単純なクラス（局所系）に対する導来モジュライ空間の代数的構成を提供すること。
• 基本群の表現に適用可能な導来変形理論の枠組みを確立すること。

提案手法

• 局所系のモジュライ空間の導来的構造をモデル化するため、スタック BG の単射分解を用いる。
• ホモロジー代数的手法を用いて、クラスのスタック BG の導来的強化を構成する。
• 接複体として、無限小自己同型の層の完全なコホロロジー複体を用いる。
• 代数的幾何と導来代数的幾何の枠組みにおいて、導来モジュライ函手を定義する。
• ホモロジー代数の技術を適用し、特異点を解消するため、高次のコホロロジー的データを符号化する。
• 変形理論がすべてのコホロロジー的情報を捉える導来スタックとして、導来モジュライ空間を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的モジュライ空間を、常に滑らかである導来モジュライ空間にどのように強化できるか？
• RQ2 局所系のモジュライ空間の正しい導来接複体は何か？ そして、古典的な H¹ 述語とはどのように異なるか？
• RQ3 BG の単射分解を用いて、局所系のモジュライ空間の導来的強化を構成できるか？
• RQ4 局所系の導来モジュライ空間は、無限小自己同型の層の完全なコホロロジーとどのように関係するか？
• RQ5 デリーニ、ドリンフェルト、コンツェビッチが想定したように、導来的強化の代数的構成は何か？

主な発見

• 局所系の導来モジュライ空間は、分類スタック BG の単射分解を用いて構成され、導来的強化が得られる。
• 導来モジュライ空間の接複体は、H¹ だけではなく、無限小自己同型の層の完全なコホロロジー複体に同型である。
• この構成は、デリーニ、ドリンフェルト、コンツェビッチが提唱した導来的強化を実現し、導来的意味で滑らかであることを保証する。
• この方法により、基本群の表現に対する導来変形理論の明確な代数的実装が得られる。
• 導来モジュライ空間は、変形問題の完全なコホロロジー的構造を捉えており、古典的モジュライ空間に存在する特異点を解消する。
• この枠組みは、BG の単射分解が、完全なコホロロジー複体によって支配される well-defined な導来モジュライ空間を生成することを示している。