[論文レビュー] Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity

Anastasia Molchanova, S. K. Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非線形弾性における有限歪みを有する弱微分可能写像がほとんど everywhere に一対一であるための条件を、プルバック作用素の有界性と多凸エネルギー関数の利用によって確立する。主な結果は、適切な強制性および歪みの上限のもとで、エネルギー汎関数の最小化子がホメオモルフィズムであることを示しており、これにより物質の重なりが生じないことを保証する。

ABSTRACT

We show that a sufficient condition for the weak limit of a sequence of $W^1_q$-homeomorphisms with finite distortion to be almost everywhere injective for $q \geq n-1$, can be stated by means of composition operators. Applying this result, we study nonlinear elasticity problems with respect to these new classes of mappings. Furthermore, we impose loose growth conditions on the stored-energy function for the class of $W^1_n$-homeomorphisms with finite distortion and integrable inner as well as outer distortion coefficients.

研究の動機と目的

• 弱微分可能で有限歪みを有する写像について、非線形弾性におけるほとんど everywhere での一対一性を確立すること。
• ボールのエネルギー最小化変形の存在理論を拡張し、事前に全空間の可逆性を仮定しないで、グローバルな一対一性を保証すること。
• 変形の逆写像がソボレフ空間に属するための条件を特定し、逆写像の正則性を保証すること。
• プルバック作用素 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$ の有界性が一対一性および有限歪みの性質とどのように関連するかを明らかにすること。
• 幾何的条件（準等長的境界）と保存エネルギー関数に関する解析的条件を統合し、一対一性の条件を定式化すること。

提案手法

• 保存エネルギー関数 $W(x,F)$ の多凸性を用いて、エネルギー汎関数の逐次弱下半連続性を保証する。
• $|F|^p$, $|\operatorname{Adj}F|^q$, $|\det F|^r$, および $|\det F|^{-m}$ を含む強制性不等式を適用し、ヤコビアンがゼロに近づく領域での発散を制御する。
• 有限歪み条件を課す：$K_O(x,\varphi) = \frac{|D\varphi(x)|^3}{J(x,\varphi)} \leq K(x) < \infty$ a.e. であり、退化しない歪みを保証する。
• プルバック作用素 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$ の有界性を、一対一性を示すための主要な解析的道具として確立する。
• $\mathbb{R}^3$ において準等長的境界とリプシッツ境界の同値性を用いて、幾何的正則性を保証する。
• ウィットニー型拡張定理および内在的距離の制御を用い、領域の幾何と逆写像のソボレフ正則性の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存エネルギー関数 $W$ および歪み係数 $K_O$ にどのような条件下で、弱微分可能で有限歪みを有する変形 $\varphi$ がほとんど everywhere で一対一となるか？
• RQ2 プルバック作用素 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$ の有界性が $\varphi$ の一対一性をどのように示すか？
• RQ3 領域 $\Omega$ および境界 $\partial\Omega$ にどのような幾何的および解析的条件が課されると、変形の逆写像が $W^1_\sigma(\Omega')$ に属するようになるか？
• RQ4 強制性条件 $W(x,F) \geq \alpha(|F|^p + |\operatorname{Adj}F|^q + |\det F|^r + |\det F|^{-m}) + g(x)$ が有限歪みと組み合わされると、一対一性が保証されるか？
• RQ5 準等長的境界は、有界拡張作用素の存在および変形の一対一性とどのように関係するか？

主な発見

• エネルギー汎関数 $I(\varphi) = \int_\Omega W(x,D\varphi)\,dx$ を最小化する変形 $\varphi$ は、$p>3$, $q>3$, $r>1$, $m>\frac{2q}{q-3}$, および $\sigma = \frac{q(1+m)}{q+m} > 3$ を満たす条件 (6) を満たす $W$ のもとで、$\Omega$ から $\varphi(\Omega)$ へのホメオモルフィズムである。
• 逆写像 $\varphi^{-1}$ は $W^1_\sigma(\overline{\Omega'})$ に属し、$\sigma > 3$ であるため、逆写像の十分な正則性が保証される。
• 有限歪みは $K_O(x,\varphi) = \frac{|D\varphi(x)|^3}{J(x,\varphi)} < \infty$ a.e. で特徴づけられ、体積要素の歪みを制御するために不可欠である。
• プルバック作用素 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$ の有界性は、任意の $u \in W^1_p(\Omega')$ に対して $\|\varphi^*u\|_{W^{1}_q(\Omega)} \leq C\|u\|_{W^1_p(\Omega')}$ を満たす定数 $C$ の存在と同値である。
• 準等長的境界写像は局所的にリプシッツ的であり、準等長的境界を有する領域は $\mathbb{R}^3$ においてリプシッツ境界を有する領域と同値である。
• 内在的距離 $d_{\varphi(B)}(u,v)$ はユークリッド距離 $|u-v|$ と比較可能であり、これにより有界拡張作用素の存在が保証され、一対一性の結果を支持する。