[論文レビュー] Inner-Approximating Reachable Sets for Polynomial Systems with Time-Varying Uncertainties

Xue Bai, Martin Fränzle+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時変不確実性を伴う多項式系の後退到達集合の内部近似を計算するための凸最適化手法を提案する。到達集合をハミルトニアン・ジャコビ方程式（HJE）のバリアント解のゼロ以下レベル集合として定式化し、1つの半正定値計画（SDP）により多項式バリアント超解を合成することで、適切な仮定のもとで測度収束を保証する。

ABSTRACT

In this paper we propose a convex programming based method to address a long-standing problem of inner-approximating backward reachable sets of state-constrained polynomial systems subject to time-varying uncertainties. The backward reachable set is a set of states, from which all trajectories starting will surely enter a target region at the end of a given time horizon without violating a set of state constraints in spite of the actions of uncertainties. It is equal to the zero sub-level set of the unique Lipschitz viscosity solution to a Hamilton-Jacobi partial differential equation (HJE). We show that inner-approximations of the backward reachable set can be formed by zero sub-level sets of its viscosity super-solutions. Consequently, we reduce the inner-approximation problem to a problem of synthesizing polynomial viscosity super-solutions to this HJE. Such a polynomial solution in our method is synthesized by solving a single semi-definite program. We also prove that polynomial solutions to the formulated semi-definite program exist and can produce a convergent sequence of inner-approximations to the interior of the backward reachable set in measure under appropriate assumptions. This is the main contribution of this work. Several illustrative examples demonstrate the merits of our approach.

研究の動機と目的

• 時変不確実性下での状態制約付き多項式系における安全な内部近似の計算という課題に取り組む。
• 高次元系においてメモリ不足やスケーラビリティの問題により頻繁に失敗するグリッドベースの数値手法の限界を克服する。
• 後退到達集合の内部への収束する内部近似を生成する、実行可能で凸計画に基づく手法を提供する。
• 提示された半正定値計画における多項式解の存在性および収束性に関する理論的保証を確立する。
• 従来のグリッドベースのソルバが計算不能となる例において、本手法の有効性を示す。

提案手法

• 後退到達集合は、ハミルトニアン・ジャコビ方程式（HJE）の一意なリプシッツ連続バリアント解のゼロ以下レベル集合として特徴付けられる。
• 内部近似は、HJEの多項式バリアント超解のゼロ以下レベル集合として構築される。
• HJEと状態制約から導かれる制約を備えた1つの半正定値計画（SDP）を定式化し、多項式バリアント超解を合成する。
• このSDPは凸であり、標準的なソルバを用いて解けるため、内部近似の効率的計算が可能となる。
• バリアント解のリプシッツ連続性と適切な定義を保証するため、キルシュブロウンの拡張定理を活用する。
• 適切な仮定のもとで、内部近似が測度収束する、後退到達集合の内部への収束性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時変不確実性を伴う多項式系の後退到達集合に対して、凸最適化を用いて収束する内部近似を計算できるか？
• RQ2 非凸なHJEに基づく到達可能性問題を、凸な半正定値計画にどのように変換できるか？
• RQ3 本設定において、多項式超解の存在性および収束性に関する理論的保証はどのようなものか？
• RQ4 どのような状況で、本手法は従来のグリッドベースまたはシミュレーションベースの手法を上回るか？
• RQ5 近似多項式の次数が内部近似の精度および収束性にどのように影響するか？

主な発見

• 提案手法は1つの半正定値計画により内部近似を計算し、中程度の高次元系に対しても効率的かつスケーラブルな計算を可能にする。
• 提示された半正定値計画の解は存在し、後退到達集合の内部への測度収束する内部近似の列を生成する。
• 例3において、グリッドベースのソルバがメモリ制限により失敗した状況でも、本手法は正常に内部近似を計算できた。
• シミュレーションベースの推定と比較した結果、多項式の次数を高めることで内部近似の精度が向上することが確認された。
• 特に4変数を超える状態変数を有する系では、計算の実行可能性において従来のグリッドベース手法を上回る。
• DSOSやSDSOSなどのテンプレート多項式の使用により、さらに計算効率とスケーラビリティが向上する。