[論文レビュー] Input-to-State Stability for the Control of Stefan Problem with Respect to Heat Loss

Shumon Koga, Iasson Karafyllis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非線形バックステッピング制御則を用いて、移動界面または固体境界における未知の熱損失に対して、1相および2相ステファン問題の入力状態安定性（ISS）を確立する。閉ループ系が摂動下でも$L_2$ノルムで安定であることを証明し、リャプノフ解析とポincare型不等式を用いて明示的なISS推定値を導出する。

ABSTRACT

This paper develops an input-to-state stability (ISS) analysis of the Stefan problem with respect to an unknown heat loss. The Stefan problem represents a liquid-solid phase change phenomenon which describes the time evolution of a material's temperature profile and the liquid-solid interface position. First, we introduce the one-phase Stefan problem with a heat loss at the interface by modeling the dynamics of the liquid temperature and the interface position. We focus on the closed-loop system under the control law proposed in [16] that is designed to stabilize the interface position at a desired position for the one-phase Stefan problem without the heat loss. The problem is modeled by a 1-D diffusion Partial Differential Equation (PDE) defined on a time-varying spatial domain described by an ordinary differential equation (ODE) with a time-varying disturbance. The well-posedness and some positivity conditions of the closed-loop system are proved based on an open-loop analysis. The closed-loop system with the designed control law satisfies an estimate of {L}_2 norm in a sense of ISS with respect to the unknown heat loss. The similar manner is employed to the two-phase Stefan problem with the heat loss at the boundary of the solid phase under the control law proposed in [25], from which we deduce an analogous result for ISS analysis.

研究の動機と目的

• 界面または境界における未知の熱損失に対して、閉ループステファン系のロバストネスを分析すること。
• 従来のステファン問題に対するバックステッピング制御設計を、入力状態安定性（ISS）を用いた摂動抑止に拡張すること。
• 制御下での熱損失を伴う1相および2相ステファン問題の適切な定式化およびモデル妥当性条件を確立すること。
• 熱損失摂動に関して、温度および界面ダイナミクスの$L_2$ノルムにおける明示的なISS推定値を導出すること。
• 異なる熱損失レベルを有する亜鉛ストリップモデルを用いた数値シミュレーションにより、理論的結果を検証すること。

提案手法

• 1相ステファン問題に対して、[16]と同様に非線形バックステッピング変換を用いて、状態フィードバック制御則を設計し、$H^1$ノルムにおける指数的安定性を保証する。
• リャプノフ汎関数アプローチを用いてISS推定値を導出する。システム状態に対してエネルギー的汎関数$V_1$、$V_2$、$V_3$を構築する。
• ポincare、コーシー＝シュワルツ、ヤング、アグモンの不等式を用いて、リャプノフ汎関数の時間微分をバインドし、微分不等式を導出する。
• ISS推定値$\sqrt{V(t)} \leq M_1 e^{-\alpha t} \sqrt{V(0)} + M_2 \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$を導出し、未知の熱損失下でも状態の有界性を証明する。
• 2相ステファン問題に対しては、[25]の制御則を用い、固体境界における熱損失を考慮した解析を実施。同様にリャプノフおよび不等式技法を適用する。
• 亜鉛ストリップの物理的パラメータ（表1）を用い、境界固定化法および有限差分半離散化を用いて理論的結果を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 界面における未知の熱損失を伴う1相ステファン問題は、[16]のバックステッピング制御則のもとで入力状態安定性（ISS）を維持できるか？
• RQ2 熱損失の存在が、1相ステファン問題における界面位置および温度プロファイルの安定性にどのように影響するか？
• RQ3 熱損失が固体境界に存在する2相ステファン問題に対し、ISSフレームワークを拡張可能か？
• RQ4 熱損失が存在する条件下で、適切な定式化およびモデル妥当性（例：温度と界面位置の正値性）のための十分条件は何か？
• RQ5 熱損失の大きさが、界面の目標値への追従誤差および収束速度にどの程度影響を及えるか？

主な発見

• 熱損失を伴う1相ステファン問題の閉ループ系は、$L_2$ノルムにおけるISS推定値を満たし、状態ノルムが指数的減衰項と熱損失のesssupの項に比例する形で有界である。
• ISS推定値は$\sqrt{V_2(t)} \leq \sqrt{V_2(0)} e^{-\frac{\alpha_s}{16L^2}t} + \frac{4L\sqrt{2L}}{k_s} \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$として導出され、未知の摂動に対してロバストであることが示された。
• 数値シミュレーションにより、界面が$ s_r = 0.35 $ m の目標値に収束し、$\bar{q}_f$が大きいほど定常誤差が増加することが確認され、ISS結果と整合的である。
• 制御則は境界温度$T(0,t) > T_m$の正値性を維持し、$0 < s(t) < s_r$を保証しており、モデル妥当性条件の妥当性が検証された。
• 2相ステファン問題に対しても、[25]の制御則を用い、同様のISSフレームワークを拡張し、類似した安定性推定値が得られた。
• $\bar{q}_f = 1.0 \times 10^3$、$5.0 \times 10^3$、および$10.0 \times 10^3$ W/m² のシナリオにおけるシミュレーション結果は、熱損失が大きいほど界面誤差が増加することを示し、ISSバインドが確認された。