[論文レビュー] Input-to-state stability of distributed parameter systems

Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2023

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

このハビリテーション・リポートは、非線形および境界制御付きPDEを含む分布定数系における入力-状態安定性（ISS）の包括的なフレームワークを確立している。Lyapunov法、小利得定理、積分型ISS基準を用いており、線形および非線形系に対して逆Lyapunov定理を確立し、熱方程式や Kuramoto-Sivashinsky 方程式といった主要な方程式のISSを証明している。無限大の相互接続に対して非強制的Lyapunov関数および小利得条件を開発している。

ABSTRACT

Input-to-state stability (ISS) allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this habilitation thesis, we provide a broad picture of infinite-dimensional input-to-state stability theory.

研究の動機と目的

• PDEによって記述される無限次元系における入力-状態安定性（ISS）の体系的理論の構築を目的とする。
• 有界でない入力作用素を伴う線形および非線形発展方程式に対して、逆Lyapunov定理を確立すること。
• 小利得技法を用いて境界制御系および空間的に分布する相互接続系へのISS解析を拡張すること。
• 積分型ISSを特徴づけ、非線形放物型および高階PDEに対するLyapunovに基づく基準を開発すること。
• 粘性Burgers’方程式およびKuramoto-Sivashinsky方程式といった特定の方程式に対する厳密な安定性条件を提供すること。

提案手法

• 非強制的Lyapunov関数および分散型形式を用いて、非線形系に対するISS基準を導出する。
• 密度論的議論および弱解理論を用いて、発展方程式における有界でない入力作用素を扱う。
• 固有関数展開およびスペクトル解析を用いて、Sobolev空間とL^pノルムの間の不等式を証明する。
• 無限大のISS系の相互接続に対して、最大値型および和型の両方の小利得定理を確立する。
• Agmon型およびPoincaré型の不等式を用いて、状態ノルムを評価し、安定性条件を導出する。
• 比較関数およびDini微分を用いて、安定性特性および収束速度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布入力または境界入力を持つ非線形放物型系が、どのような条件下で入力-状態安定性（ISS）を満たすか？
• RQ2 有界でない入力作用素を伴う線形および非線形分布定数系に対して、逆Lyapunov定理を確立できるか？
• RQ3 非線形利得を伴う分布定数系の無限大相互接続に対して、小利得定理をどのように拡張できるか？
• RQ4 非線形放物型系がSobolev空間およびL^p空間で積分型ISSを満たすために、どのようなLyapunov関数構造が必要か？
• RQ5 微分作用素のスペクトル的性質が、ISSのLyapunov関数の存在および形にどのように影響するか？

主な発見

• 非線形系に対して逆Lyapunov定理を確立し、ISSが非強制的ISSのLyapunov関数の存在を示唆することを示した。
• Dirichlet境界入力付きの熱方程式に対して、H^1ノルムに基づくLyapunov関数を用いてISSであることを示した。
• Kuramoto-Sivashinsky方程式に対しては、不等式 ∫x_zz² - λ∫x_z² ≥ σ(λ)∫x² を用いたLyapunov関数を構成した。ここで σ(λ) は厳密に単調減少であり、σ(4π²)=0 を満たす。
• 最大値型の小利得定理を無限大相互接続のISS系に対して証明し、一様な小利得条件のもとで指数的ISSを保証した。
• 有界な入力作用素を伴う線形系がISSのLyapunov関数を有することを証明した。特に、P = -A⁻¹ の場合を含む。
• 対角系に対しては、固有値に関するスペクトル的条件によってISSが特徴づけられ、明示的なLyapunov関数が構成された。