[論文レビュー] Input-to-state stability of infinite-dimensional systems: recent results and open questions

Andrii Mironchenko, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、無限次元系における入力状態安定性（ISS）の包括的概要を提供し、リャプノフ法と入出力法を統合して、摂動および初期条件に対するロバストネスを分析する。線形および非線形PDE、境界制御系、時変遅れ系、および相互接続ネットワークの基礎的理論を確立し、リャプノフ関数および小利得定理を用いた安定性解析と制御設計のためのツールを提供する。

ABSTRACT

In a pedagogical but exhaustive manner, this survey reviews the main results on input-to-state stability (ISS) for infinite-dimensional systems. This property allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this paper, starting from classic results for nonlinear ordinary differential equations, we motivate the study of ISS property for distributed parameter systems. Then fundamental properties are given, as an ISS superposition theorem and characterizations of (global and local) ISS in terms of Lyapunov functions. We explain in detail the functional-analytic approach to ISS theory of linear systems with unbounded input operators, with special attention devoted to ISS theory of boundary control systems. The Lyapunov method is shown to be very useful for both linear and nonlinear models, including parabolic and hyperbolic partial differential equations. Next, we show the efficiency of the ISS framework to study the stability of large-scale networks, coupled either via the boundary or via the interior of the spatial domain. ISS methodology allows reducing the stability analysis of complex networks, by considering the stability properties of its components and the interconnection structure between the subsystems. An extra section is devoted to ISS theory of time-delay systems with the emphasis on techniques, which are particularly suited for this class of systems. Finally, numerous applications are considered in this survey, where ISS properties play a crucial role in their study. This survey suggests many open problems throughout the paper.

研究の動機と目的

• ISSを核となる枠組みとして用い、無限次元系におけるリャプノフ理論と入出力安定性理論を統合する。
• 有限次元ODEからのISS理論を、PDEおよび時変遅れ方程式によって記述される分布定数系へと拡張する。
• 有界でない入力作用素を有する線形および非線形PDE系の安定性を解析するためのリャプノフに基づく手法を構築し、体系化する。
• 小利得定理を用いて、境界または内部で結合されるPDEのネットワークを含む相互接続系にISSを適用する。
• 境界制御系および時変遅れ系における無限次元系のISS理論における未解決問題を特定し、強調する。

提案手法

• ISSの重ね合わせ定理を用いて、入力がない場合のグローバル漸近安定性と入力下でのグローバル吸引性の組み合わせとしてISSを特徴付ける。
• 特に境界制御設定において、有界でない入力作用素を有する線形系のISSを示すためにリャプノフ関数を適用する。
• 関数解析的手法を用いて、ヒルベルト空間およびバナッハ空間における発展方程式の適切性と安定性を研究する。
• 非線形小利得定理を用いて、大規模な無限次元系のネットワークの安定性を解析する。
• 特殊なリャプノフ＝クラソフスキー関数と遅延依存解析を用いて、時変遅れ系にISS理論を適応する。
• PDEに不確実性が存在する場合のロバスト制御手法（バックステッピングおよびフィードバック再設計など）とISSを統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない入力作用素を有する系に関して、リャプノフ関数を用いた無限次元系におけるISSの特徴付けはどのように行えるか？
• RQ2 線形および非線形PDE系（特に放物型および双曲型方程式を含む）におけるISSの必要十分条件は何か？
• RQ3 境界または内部で結合されるPDEのネットワークのような相互接続無限次元系の安定性を分析する際、ISSはどのように応用できるか？
• RQ4 境界制御系および時変遅れ系へのISS理論の拡張において、主な課題と未解決問題は何か？
• RQ5 分布定数系の文脈において、ISSはどのように有限次元安定性概念を統合・一般化するか？

主な発見

• ISSは、滑らかなISSリャプノフ関数の存在と同値であり、マセラおよびクルツヴァイルの古典的定理を入力を持つ系へ一般化する。
• ISSの重ね合わせ定理は、入力がない場合のグローバル漸近安定性と入力下でのグローバル吸引性の組み合わせとしてISSを特徴付ける。
• 有界でない入力作用素を有する線形系では、関数解析的手法と生成作用素の固有値性質を用いてISSを解析できる。
• 境界制御系は、入力作用素の非有界性を考慮したリャプノフに基づく技術を用いてISSであると証明できる。
• 非線形小利得定理により、成分ごとのISS性質と結合構造を組み合わせることで、大規模ネットワークの安定性解析が可能になる。
• 遅延依存ダイナミクスに特化したISSフレームワークを用いることで、時変遅れ系は効果的に解析可能であり、リャプノフ＝クラソフスキー関数が安定性の十分条件を提供する。