[論文レビュー] Insensitivity of the mean-field Limit of Loss Systems Under Power-of-d Routing

Thirupathaiah Vasantam, Arpan Mukhopadhyay+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般のサービス時間分布を有する Power-of-d ルーティングを用いた大規模なマルチサーバー損失系において、平均場極限の感度不変性を確立する。測度値マルコフ過程とマーティングル問題のアプローチを用いて、平均場方程式が指数分布サービス時間の場合と同一の一意な固定点を持つことを証明し、一般の有限平均サービス時間分布に対しても感度不変性が成立することを確認する。

ABSTRACT

In this paper, we study large multi-server loss models under power-of-$d$ routing scheme when service time distributions are general with finite mean. Previous works have addressed the exponential service time case when the number of servers goes to infinity giving rise to a mean field model. The fixed point of limiting mean field equations (MFE) was shown to be insensitive to the service time distribution through simulation. Showing insensitivity to general service time distributions has remained an open problem. Obtaining the MFE in this case poses a challenge due to the resulting Markov description of the system being in positive orthant as opposed to a finite chain in the exponential case. In this paper, we first obtain the MFE and then show that the MFE has a unique fixed point that coincides with the fixed point in the exponential case thus establishing insensitivity. The approach is via a measure-valued Markov process representation and the martingale problem to establish the mean-field limit. The techniques can be applied to other queueing models.

研究の動機と目的

• Power-of-d ルーティングを用いた損失系における平均場固定点が、一般のサービス時間分布に対して感度不変であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• マーカフ構造を持たない一般（非指数）サービス時間分布を有するシステムにおける平均場極限を確立すること。
• 平均場方程式の固定点が指数分布ケースと同一であることを示し、感度不変性を証明すること。
• 非マーカフ過程のキューイング系を平均場的枠組みで解析するための一般化された枠組みを構築すること。

提案手法

• 一般のサービス時間のフェーズ型表現を用いて、各サーバーの状態を正の直交座標上での測度値マルコフ過程としてモデル化する。
• マーティングル問題の定式化を用いて、N → ∞ のときの平均場極限を厳密に確立し、有限N系の弱収束が決定的常微分方程式系に収束することを保証する。
• 各サーバーのジョブ数と残りのフェーズ数に基づく状態依存遷移レートを用いて、平均場方程式（MFE）を定義する。
• 生成子の構造と収束議論を用いて、MFEの解の存在および一意性を証明する。
• 平衡方程式を指数分布ケースと比較することで、MFEの固定点がサービス時間分布に依存しないことを示す。
• プロホロフの定理とエルゴード性を活用して、有限N系の定常分布が平均場固定点に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サービス時間が指数分布ではなく一般の分布である場合、Power-of-d ルーティングを用いた損失系における平均場固定点は、依然として不変であるか？
• RQ2 測度値過程を用いることで、一般のサービス時間分布を有する非マーカフ系における平均場極限を厳密に確立できるか？
• RQ3 平均場方程式の固定点は、グローバルに安定しており、サービス時間分布に感度しないか？
• RQ4 平均場極限における非マーカフ的、正の直交座標上での拡散過程を解析するために必要な数学的技法は何か？

主な発見

• 平均場極限は存在し、マーティングル問題の手法により導かれた常微分方程式系によって一意に特徴付けられる。
• 平均場方程式の固定点は、指数分布サービス時間の場合と同一であり、サービス時間分布に対する感度不変性が証明される。
• 有限平均を持つ一般のサービス時間分布下でも、有限N系から平均場極限への収束が確立される。
• 数値シミュレーションにより、複数の初期条件からも収束が観察されたことから、固定点はグローバルに安定であることが示された。
• 測度値過程とマーティングル問題の手法は、多クラス系やプロセッサシェアリング系を含む、他の非マーカフ系キューイングモデルへも一般化可能である。