[論文レビュー] Inserting Group Variables into Fluid Mechanics

R. Jackiw|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Fluid Dynamics Simulations and Interactions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、クォーク- gluon プラズマに見られるように、非アーベル群の変数を組み込むために、古典的流体力学を一般化し、速度場を群値に拡張した Euler 方程式と連続の方程式を導出する。主な貢献は、色電流が単位元電流に比例しないことにより、群空間内に直交成分が生じ、非アーベルのベルヌーイ方程式が得られることであり、共変電流保存を保つ一貫性のあるラグランジアンおよびハミルトニアン構造が得られる。

ABSTRACT

A fluid, like a quark-gluon plasma, may possess degrees of freedom indexed by a group variable, which retains its identity even in the fluid/continuum description. Conventional Eulerian fluid mechanics is extended to encompass this possibility.

研究の動機と目的

• 非アーベル電荷を持つ系、例えばクォーク-グルーオンプラズマを記述するため、群変数によって指数づけられる自由度を持つ系に古典的流体力学を一般化すること。
• アーベルの場合を超えて、群値速度場 $\mathbf{v}^a$ と色電流 $\mathbf{J}_a$ を含む流体力学のエーランジェアン形式を拡張すること。
• 共変電流保存を保ち、正しい非アーベル力学を再現する一貫性のあるラグランジアンおよびハミルトニアン形式を構築すること。
• 色電流が単位元電流に比例しないこと、すなわち群空間内に直交成分が生じることを示すこと。
• 群値速度に向けた非アーベル一般化されたベルヌーイ方程式およびエーランジェアン方程式を確立すること。

提案手法

• SU(2) 群変数を用いたシュレーディンガー方程式のマデルング型パラメータ化を導入し、波動関数を $\Psi = \sqrt{\rho}\, u \, g$ と表現する。ここで $g$ は群要素、$u$ は正規化されたスピンダーである。
• 群構造から色電流 $\mathbf{J}_a = \frac{\rho}{2} R_{ab} \mathbf{v}^b$ を導出する。ここで $\mathbf{v}^a = -\frac{1}{2} g^{-1} \nabla g \cdot T^a$ であり、これはアーベル速度場の一般化である。
• 非相対論的形でのエッカート因子化 $j^\mu = \rho u^\mu$ を用い、非アーベル電流へと拡張し、$\mathbf{J}_a = \rho \mathbf{v}^a + \frac{\rho}{2} R_{ab} \mathbf{v}^{b}_\perp$ を用いて単位元成分と直交成分を分離する。
• 群変数の時間発展から非アーベルベルヌーイ方程式を導出する：$\left(g^{-1} \dot{g}\right)^a = \left[ \mathbf{v}^b \cdot \mathbf{v}^b - \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} \right] t^a + \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \left( \rho \epsilon_{abc} \mathbf{v}^b t^c \right)$。
• ラグランジアン密度 $\mathcal{L} = \rho \, 2 \operatorname{tr} K g^{-1} \dot{g} - \frac{1}{2} \rho \mathbf{v}^a \cdot \mathbf{v}^a - \rho c^2 + \frac{1}{2} \rho \mathbf{v}^2$ を構築し、自由な極限においてマデルング形式と同等であることを示す。
• 恒等式 $\dot{\mathbf{v}}^a = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} (g^{-1} \dot{g})^a + \epsilon_{abc} \mathbf{v}^b (g^{-1} \dot{g})^c$ を用いて $\mathbf{v}^a$ のエーランジェアン方程式を導出する。この式は、すべての群方向が非自明に結合されることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル群変数（例えばクォーク-グルーオンプラズマに見られるもの）を含む流体力学を一般化する方法は何か？ 保存則を保つにはどうすればよいか？
• RQ2 非アーベル流体における色電流の構造は何か？ また、アーベルの単位元電流とはどのように異なるか？
• RQ3 群値速度場を有する非アーベル流体に対して、一貫性のあるラグランジアンおよびハミルトニアン形式を構築できるか？
• RQ4 非アーベル一般化により、群値速度成分の力学を支配するベルヌーイ型方程式が得られるか？
• RQ5 なぜこの形式化では Wong 方程式が出現しないのか？ これは色電流輸送の性質について何を示唆するか？

主な発見

• 色電流 $\mathbf{J}_a$ は単位元電流 $\rho \mathbf{v}$ に比例しない。代わりに $\mathbf{v}^b_\perp = (\delta^{ab} - t^a t^b) \mathbf{v}^b$ を通じて直交成分を含み、群空間内に非自明な構造が生じる。
• 非アーベルベルヌーイ方程式は $\left(g^{-1} \dot{g}\right)^a = \left[ \mathbf{v}^b \cdot \mathbf{v}^b - \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} \right] t^a + \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \left( \rho \epsilon_{abc} \mathbf{v}^b t^c \right)$ として導出され、渦度項によってすべての群方向が結合される。
• 共変電流保存 $\partial_\mu \mathbf{J}_a^\mu = 0$ は、アーベルの連続の方程式とベルヌーイ方程式から導かれることが示され、一貫性が保証される。
• ラグランジアン形式により、アーベルの場合と同一の正準1形式が得られるが、ハミルトニアンは $\mathbf{v}^a \cdot \mathbf{v}^a$ を含むため、アーベルの場合とは異なり、非アーベルの運動エネルギーを反映する。
• エーランジェアン方程式は恒等式 $\dot{\mathbf{v}}^a = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} (g^{-1} \dot{g})^a + \epsilon_{abc} \mathbf{v}^b (g^{-1} \dot{g})^c$ を用いて導出され、群方向間の非自明な結合が示される。
• 単純な解 $\mathbf{v}^a = \mathbf{v} t^a$ が存在し、これにより系はアーベルの場合に還元される。これは、群方向が一致する極限で既知の流体力学と整合することを確認する。