[論文レビュー] Instabilities for analytic quasi-periodic invariant tori

Gerard Farré, Bassam Fayad|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、近似共役（AbC）法を用いて、任意の周波数に対して、位相的に不安定な準周期的不変トーラスを有する実解析的ハミルトニアンを構成する。Nekhoroshev理論およびKAM理論における鋭い結果を確立し、指数的安定性の最適性と、Liouville周波数におけるトーラスの非蓄積性を示す。

ABSTRACT

We prove the existence of real analytic Hamiltonians with topologically unstable quasi-periodic invariant tori. Using various versions of our examples, we solve the following problems in the stability theory of analytic quasi-periodic motion: $\quad i)$ Show the existence of topologically unstable tori of arbitrary frequency. Moreover, the Birkhoff Normal Form at the invariant torus can be chosen to be convergent, equal to a planar or non-planar polynomial. $\quad ii)$ Show the optimality of the exponential stability for Diophantine tori. ' $\quad iii)$ Show the existence of real analytic Hamiltonians that are integrable on half of the phase space, and such that all orbits on the other half accumulate at infinity. $\quad iv)$ For sufficiently Liouville vectors, obtain invariant tori that are not accumulated by a positive measure set of quasi-periodic invariant tori.

研究の動機と目的

• 任意の周波数ベクトルに対して、位相的に不安定な準周期的不変トーラスを有する実解析的ハミルトニアンの存在を示すこと。
• Nekhoroshev理論におけるディオファントス周波数トーラスの指数的安定性推定の鋭さを示すこと。
• 位相空間の半分で可積分であり、他方の半分のすべての軌道が無限大へ発散するハミルトニアンを構成すること。
• 十分にLiouville的周波数を持つ場合に、正の測度を持つ準周期的トーラス集合に蓄積されない不変トーラスを示すこと。

提案手法

• 周期的摂動を角度変数に施した $ H_n $ の列の極限としてハミルトニアンを構成する。近似共役（AbC）法を用いる。
• 正準変換 $ \tilde{\theta} = \theta + \text{周期的項} $ を用いて $ H_n $ を正準形 $ H_0 = \tilde{\theta} \rangle $ に共役化し、明示的な流れ解を得る。
• 整数列 $ \{k_j\} \subset \mathbb{Z}^{d-1} $ と急激に増加する周波数ベクトルによって駆動される野生な共役性を用い、作用変数における不安定性を誘導する。
• AbC法を二つのメカニズムを用いて適用する：(i) 定常Liouville周波数とほぼ共鳴する $ k_j $、(ii) $ r_d \to 0 $ の際に共鳴を通過する周波数ベクトル $ \omega(r_d) $。
• 複素近傍 $ D_{\Delta,\rho} = \mathbb{T}^d_\rho \times B_{\Delta,\rho} $ における推定を用い、$ H_n \to H $ の $ C^\omega $ 範囲での収束を保証する。
• Birkhoff正準形（BNF）解析を用いて、極限ハミルトニアンの構造を制御し、KAM安定性の非退化条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の周波数ベクトルに対して、実解析的ハミルトニアン系に位相的に不安定な準周期的不変トーラスが存在しうるか？
• RQ2 Nekhoroshev理論におけるディオファントス周波数トーラスの指数的安定性の境界は鋭いか？
• RQ3 実解析的ハミルトニアンが位相空間の半分で可積分であり、他方の半分のすべての軌道が無限大へ発散することができるか？
• RQ4 十分にLiouville的周波数ベクトルに対して、正の測度を持つ準周期的トーラス集合に蓄積されない不変トーラスを構成できるか？

主な発見

• 本稿は、任意の周波数ベクトル $ \omega \in \mathbb{R}^d $ に対して、位相的に不安定な準周期的不変トーラスを有する実解析的ハミルトニアンを構成し、安定性理論における未解決問題を解決する。
• 不変トーラスにおけるBirkhoff正準形を収束させ、平面的または非平面的多項式に一致させることができることを示し、正準形構造の柔軟性を示す。
• ディオファントス周波数トーラスの指数的安定性境界が最適であることが示され、構成例ではNekhoroshev推定値と対数補正を除いて一致する拡散時間が達成されている。
• 位相空間の一方の半分のすべての軌道が無限大に蓄積するが、他方の半分では可積分である例が構成され、極端な不安定性が示される。
• 十分にLiouville的周波数ベクトルに対して、正の測度を持つ準周期的不変トーラス集合に蓄積されない不変トーラスが構成され、KAM型非蓄積結果の鋭さが示される。
• 極限ハミルトニアン $ H = \lim H_n $ が実解析的であり、複素近傍で $ C^\omega $ 収束することが示され、構成例の滑らかさと解析的性が保証される。