[論文レビュー] Instabilities for supercritical Schrödinger equations in analytic manifolds

Laurent Thomann|ArXiv.org|Jul 12, 2007

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、解析的リーマン多様体上の超臨界非線形シュレーディンガー方程式に対して、半古典的解析的WKB法を用いて不安定性および不適切性を確立する。近似解を構成し、二種類の不適切性を明らかにする。すなわち、エネルギー空間における連続性の喪失と、任意に小さな初期データ（$ H^\sigma $ 内、$ \sigma < d/2 - 2/(p-1) $）に対しても、高次のソボレフノルムでの即時の正則性喪失である。$ \rho > \sigma $ に対して $ H^\rho $ において問題が不適切であることが示された。

ABSTRACT

In this paper we consider supercritical nonlinear Schrödinger equations in an analytic Riemannian manifold $(M^d,g)$, where the metric $g$ is analytic. Using an analytic WKB method, we are able to construct an Ansatz for the semiclassical equation for times independent of the small parameter. These approximate solutions will help to show two different types of instabilities. The first is in the energy space, and the second is an immediate loss of regularity in higher Sobolev norms.

研究の動機と目的

• 超臨界非線形シュレーディンガー方程式の解析的リーマン多様体上での適切性を調査すること。
• 非線形性が臨界指数 $ p > (d+2)/(d-2) $ を超過する場合、コーシー問題がエネルギー空間で一様に適切であるかどうかを特定すること。
• 初期データが $ H^\sigma $ 内で任意に小さく、$ \sigma < d/2 - 2/(p-1) $ である場合の、高次のソボレフノルムにおける正則性喪失を分析すること。
• フローマップがエネルギー空間で一様連続でないことを示し、解が任意に小さい時間内に無限大の $ H^\rho $ ノルムをとることを示すこと。

提案手法

• 超臨界非線形シュレーディンガー方程式に半古典的変換を適用すること。
• 時間の小パラメータ $ h $ に依存しない有効な近似解を得るため、解析的WKBアンザッツを用いること。
• 多様体 $ M^d $ の点 $ m \in M^d $ の近傍で縮小する近傍に支持を持つ初期データの列を構成し、エネルギーと $ H^{1+\nu} \cap L^q $ 距離を制御すること。
• 重み付きソボレフノルムにおいて、近似解と真の解との誤差を制御するため、複素解析的枠組みでの固定点定理を用いること。
• スケーリング不変性と臨界ソボレフ指数 $ \sigma_c = d/2 - 2/(p-1) $ を用いて、不適切性の閾値を特定すること。
• 複素解析的領域において、真の解とWKB近似との差に対する指数的誤差評価を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性が $ p > (d+2)/(d-2) $ を満たす場合、超臨界非線形シュレーディンガー方程式のコーシー問題はエネルギー空間 $ H^1 $ で一様に適切か？
• RQ2 初期データが $ H^\sigma $ 内で任意に小さい場合、$ \sigma < \sigma_c $ に対して、解が任意に小さい時間内に無限大の $ H^\rho $ ノルムをとるか？
• RQ3 超臨界非線形性に対して、フローマップがエネルギー空間で一様連続でないか？
• RQ4 滑らかで compact な台を持つ初期データで $ H^1 $ ノルムが小さい解について、高次のソボレフノルムで即時の正則性喪失が生じるか？
• RQ5 解析的WKB法を用いて、解析的多様体上でこのような不安定性を示す解を構成できるか？

主な発見

• 奇数の整数 $ p > (d+2)/(d-2) $ に対して、二つの初期データ列が $ H^1 $-距離を任意に小さくしながらも、時間 $ t_n \to 0 $ において $ L^{p+1} $ ノルムで解の差がゼロから離れていることから、コーシー問題は $ H^1 $ で一様に適切でないことが示された。
• 初期データ列は $ \nu < \nu_0 $、$ q < q_0 $ に対して $ \|u_0^n - \tilde{u}_0^n\|_{H^{1+\nu} \cap L^q} \to 0 $ を満たし、$ H^{1+\nu} $-距離が小さいにもかかわらず不安定性が生じることを確認した。
• $ \sigma < d/2 - 2/(p-1) $ に対して、$ \check{u}_0^n \to 0 $ が $ H^\sigma $ 内で成り立ち、解 $ \check{u}^n(\tau_n) $ がすべての $ \rho > \sigma $ に対して $ \|\check{u}^n(\tau_n)\|_{H^\rho} \to \infty $ を満たす初期データが存在することを示し、$ \rho > \sigma $ に対して $ H^\rho $ で問題が不適切であることを証明した。
• 解析的WKB法により構成された解は、指数的誤差推定を満たす：複素帯領域内で $ \|(1 - h^2\Delta)^{k/2}(v - v_{\text{app}})\|_{L^2} \leq C_k e^{-\delta_2/h} $ が成り立ち、高精度な近似が保証された。
• 半古典的設定における有限伝搬速度の原理が確立され、このような不安定性の予想を支持した。
• 複素解析的枠組みでの固定点定理により、複素帯内で正則で、WKB近似と指数的に近い解 $ v $ が存在することが保証された。