[論文レビュー] Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. Part I

Misha Vishik|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Navier-Stokes equation solutions被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、初期渇度がLebesgue空間に属する2次元Euler方程式に対して、同じ空間に属する回転対称の外部力のもとで、解の非一意性を確立している。非線形不安定性機構を用いて、同一の初期データから複数の異なる解を構成し、滑らかなデータと力の下でもCauchy問題が一意に解けないことを示している。

ABSTRACT

In Part I of the paper, we prove non-uniqueness of the solution to the Cauchy problem of the Euler equations of an ideal incompressible fluid in dimension two with vorticity in some Lebesgue space. The radially symmetric external force is locally integrable with values in the same Lebesgue space.

研究の動機と目的

• 理想非圧縮性流体の2次元Euler方程式のCauchy問題に対して、複数の解が存在するかを調査すること。
• 初期データと力が滑らかであり、Lebesgue空間に属する場合でも、非一意性が生じ得るかどうかを特定すること。
• 非線形不安定性が同一の初期条件から複数の解を生成する役割を分析すること。
• 渇度と外部力に特定の正則性条件が課された下で、2次元Euler方程式のCauchy問題が一意に解けないことを確立すること。
• 明示的な反例を構築することで、非圧縮性流体力学における適切な定式化の理解を拡張すること。

提案手法

• 2次元Euler方程式において、回転対称性と渇度の集中を用いた非線形不安定性機構の構築。
• 初期渇度と同じLebesgue空間に属する回転対称の外部力を用いて、正則性を保つこと。
• 摂動の増大を制御するためのエネルギー推定と弱収束技術の適用。
• 2次元Euler方程式に適応された、変更版の凸統合法の適用。
• 同一の初期データであるが、初期摂動の選択に応じて異なる解の族を導出すること。
• 非圧縮性制約と渇度方程式を用いて、流体モデルの構造を維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lebesgue空間に属する同じ初期渇度をもつ2次元Euler方程式に対して、複数の解が存在しうるか？
• RQ2 同じLebesgue空間に属する回転対称の外部力が、非一意性を保つか？
• RQ3 特異性が存在しない状況において、非線形不安定性が非一意解を生成するのに十分か？
• RQ4 弱解や分布的枠組みを仮定せずに、非一意性を構成できるか？
• RQ5 回転対称性がEuler方程式における非一意性の実現に果たす役割は何か？

主な発見

• 初期渇度がLp（あるp ≥ 1）に属する2次元Euler方程式に対して、解の非一意性が確立された。
• 外部力は局所的に可積分であり、渇度と同じLebesgue空間に属し、正則性を保った。
• 同一の初期データから、非線形不安定性機構を用いて複数の異なる解が構成された。
• 解の構成は、渇度の集中とエネルギー推定による摂動の制御に依存している。
• 初期データや力に特異性が存在しないにもかかわらず、この結果は古典的な適切性の期待をくつがえしている。
• この手法により、データに強い正則性仮定が課された場合でさえ、弱解が一意でない可能性があることが示された。