[論文レビュー] Instability, index theorem, and exponential trichotomy for Linear Hamiltonian PDEs

Zhiwu Lin, Chongchun Zeng|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿はヒルベルト空間における線形ハミルトニアンPDEに対して構造的分解を確立し、進化群 $ e^{tJL} $ に対して指数的三重性を証明するとともに、$ L $ の負の指数を、$ JL $ の一般固有空間の次元（連続スペクトルに埋め込まれたものも含む）に関連付ける一般化された不安定性インデックス定理を導出する。これらの結果は、非有界かつ非可逆な $ J $ に対しても古典的インデックス定理を拡張し、ハミルトニアン摂動によるスペクトル不安定性の鋭い条件を提供する。

ABSTRACT

Consider a general linear Hamiltonian system $\partial_{t}u=JLu$ in a Hilbert space $X$. We assume that$\ L: X o X^{*}$ induces a bounded and symmetric bi-linear form $\left\langle L\cdot,\cdot ight angle $ on $X$, which has only finitely many negative dimensions $n^{-}(L)$. There is no restriction on the anti-self-dual operator $J: X^{*} \supset D(J) o X$. We first obtain a structural decomposition of $X$ into the direct sum of several closed subspaces so that $L$ is blockwise diagonalized and $JL$ is of upper triangular form, where the blocks are easier to handle. Based on this structure, we first prove the linear exponential trichotomy of $e^{tJL}$. In particular, $e^{tJL}$ has at most algebraic growth in the finite co-dimensional center subspace. Next we prove an instability index theorem to relate $n^{-}\left( L ight) $ and the dimensions of generalized eigenspaces of eigenvalues of$\ JL$, some of which may be embedded in the continuous spectrum. This generalizes and refines previous results, where mostly $J$ was assumed to have a bounded inverse. More explicit information for the indexes with pure imaginary eigenvalues are obtained as well. Moreover, when Hamiltonian perturbations are considered, we give a sharp condition for the structural instability regarding the generation of unstable spectrum from the imaginary axis. Finally, we discuss Hamiltonian PDEs including dispersive long wave models (BBM, KDV and good Boussinesq equations), 2D Euler equation for ideal fluids, and 2D nonlinear Schrödinger equations with nonzero condition at infinity, where our general theory applies to yield stability or instability of some coherent states.

研究の動機と目的

• 非有界かつ非可逆なシンプレクティック作用素 $ J $ を持つ線形ハミルトニアンPDEを分析するための一般枠組みを構築すること。
• 状態空間のブロック対角化を可能にする $ L $ と、$ JL $ を上三角形形式に置く構造的分解を確立すること。
• 進化群 $ e^{tJL} $ に対して指数的三重性を証明し、中心部分空間上で高々多項式的成長が生じることを示すこと。
• 非可逆な $ J $ の場合や連続スペクトルに埋め込まれた固有値を含む状況を含めた、不安定性インデックス定理の一般化。
• ハミルトニアン摂動が虚軸上から不安定なスペクトルを生成する際の構造的不安定性の鋭い条件を提供すること。

提案手法

• 負の指数 $ n^-(L) $ を根拠に、ヒルベルト空間 $ X $ を部分空間 $ X_- \oplus \ker L \oplus X_+ $ に分解する構造的分解を導入し、スペクトル解析を簡素化する。
• リース表現定理と $ L $ の有界性を用いて同値な内積を定義し、$ JL $ を有界作用素の摂動として再定式化する。
• 純虚数固有値を扱うために複素化技術を適用し、複素化空間上の $ \tilde{J}\tilde{L} $ のスペクトルを分析する。
• 不変部分空間 $ X_- $, $ \ker L $, $ X_+ $ における力学を解析することで指数的三重性を証明し、中心部分空間上での制御された成長を示す。
• 一般固有空間の全次元と $ n^-(L) $ の間のインデックス数え上げ公式を導出する。この公式は、純虚数固有値に付随する固有空間を含む。
• C^0-群の摂動論を用いて、特に虚軸上から不安定な固有値が分岐する場合のスペクトル安定性を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ J $ が非有界または非可逆である場合、線形ハミルトニアン系 $ \partial_t u = JL u $ のスペクトル的および力学的性質はどのように解析できるか？
• RQ2 負の指数 $ n^-(L) $ と、連続スペクトルに埋め込まれた固有値を含む $ JL $ の一般固有空間の次元との正確な関係は何か？
• RQ3 ハミルトニアン摂動が虚軸上から不安定なスペクトルを生成する条件は何か？そして、その条件をどのように鋭く特徴づけられるか？
• RQ4 指数的三重性 $ e^{tJL} $ は、中心部分空間が有限余次元である場合を含め、力学を安定、不安定、中心成分にどのように分解するか？
• RQ5 二次形式 $ \langle Lu, v \rangle $ は、ハミルトニアンPDEにおける一様状態のスペクトル構造と安定性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 進化群 $ e^{tJL} $ は指数的三重性を有し、$ \dim \ker L = \infty $ であっても、有限余次元の中心部分空間 $ \ker L $ 上では高々代数的（多項式的）成長が生じる。
• 負の指数 $ n^-(L) $ と $ JL $ の一般固有空間（連続スペクトルに埋め込まれた純虚数固有値に付随するものも含む）の全次元を関連付ける不安定性インデックス定理が証明された。
• $ L $ が $ X_+ $ 上で下に有界でない場合でも、弱化された仮定のもとで精密なインデックス公式が得られ、理論の適用範囲が拡張された。
• 本稿は、構造的不安定性の鋭い条件を提供する：ハミルトニアン摂動が虚軸上から不安定なスペクトルを生成するのは、摂動が純虚数固有値の一般固有空間 $ E_{i\mu} $ 上での $ \langle L \cdot, \cdot \rangle $ の非退化性を破る場合に限る。
• KdV、BBM、良いBoussinesq、2次元Euler、および無限遠で非ゼロ境界条件を持つ2次元NLSなどのPDEモデルに対して、本理論は孤立波や周期的移動波などの一様状態の線形安定性または不安定性に関する明確な基準を導く。
• 複素化作用素 $ \tilde{J}\tilde{L} $ は $ (\tilde{J}\tilde{L})^* = -\tilde{L}\tilde{J} $ を満たし、そのスペクトルは実軸に関して対称である。これは、純虚数スペクトル点を解析する上で極めて重要である。