[論文レビュー] Instability of an inverse problem for the stationary radiative transport near the diffusion limit

Hongkai Zhao, Yimin Zhong|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Knudsen数 ε ≪ 1 の近傍における拡散極限に近い、角方向に依存しない源および角方向に平均化された測定値を伴う定常的放射輸送方程式における逆問題の不安定性を調査する。ε → 0 の拡散領域では吸収係数 σₐ の再構成が指数的不安定性を示し、ε が小さい場合でない（輸送領域）にはホルダー型の不安定性を示す。これは、ε と測定ノイズの相対的スケールに依存する根本的な不適切性を示している。

ABSTRACT

In this work, we study the instability of an inverse problem of radiative transport equation with angularly averaged measurement near the diffusion limit, i.e. the normalized mean free path (the Knudsen number) $0 < \eps \ll 1$. It is well-known that there is a transition of stability from Hölder type to logarithmic type with $\eps o 0$, the theory of this transition of stability is still an open problem. In this study, we show the transition of stability by establishing the balance of two different regimes depending on the relative sizes of $\eps$ and the perturbation in measurements. When $\eps$ is sufficiently small, we obtain exponential instability, which stands for the diffusive regime, and otherwise we obtain Hölder instability instead, which stands for the transport regime.

研究の動機と目的

• 定常的放射輸送方程式において、角方向に平均化された測定値から吸収係数 σₐ を再構成する際の不安定性を分析すること。
• Knudsen数 ε に応じて、輸送領域と拡散領域の間で逆問題の安定性がどのように変化するかを特定すること。
• 不安定性が ε と測定誤差の相対的サイズにどのように依存するかを定量化すること。
• 異なる漸近的領域における鋭い安定性評価（指数的 vs. ホルダー型）を確立すること。
• 輸送理論における角方向に平均化された逆問題に対する完全な一意性および安定性理論の欠如に対処すること。

提案手法

• Knudsen数 ε ≪ 1 を用いて放射輸送方程式をスケーリングし、拡散極限に近い領域を研究する。
• 角方向に依存しない光学的パラメータを仮定：σₜ(x) および σₛ(x)、および既知の位相関数 p(v,v′) ≡ 1。
• 角方向に平均化されたアルベド作用素 B: f(x) ↦ ∫_{nₓ·v>0} v·nₓ u|Γ₊(x,v) dμ(v) を用い、境界上の源を平均化された境界測定値へ写像する。
• 周波数領域におけるカーネルの振る舞いに特に注目し、フーリエ解析および特異積分推定を用いて解作用素を分析する。
• リーツ＝トールン補間およびヤングの不等式を適用し、解および積分作用素の L² ノルムを評価する。
• 解作用素のリゾルベントノルム (I − K₁)⁻¹ を比較することで安定性評価を導出し、拡散極限では O(ε⁻²) のスケーリングを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収係数 σₐ の逆問題における不安定性は、Knudsen数 ε にどのように依存するか？
• RQ2 測定値が角方向に平均化された場合、σₐ の再構成を支配する安定性の型（指数的かホルダー型か）は何か？
• RQ3 輸送領域と拡散領域の間の遷移が、逆問題の不適切性に影響を与えるか？
• RQ4 拡散極限に近い領域において、角方向に平均化された逆問題に対して鋭い安定性評価を導出できるか？
• RQ5 測定誤差が ε とどのように作用し、全体の不安定性を決定づけるか？

主な発見

• 十分に小さい ε（拡散領域）では、逆問題は吸収係数 σₐ の再構成において指数的不安定性を示す。
• ε が小さい場合でない（輸送領域）では、不安定性はホルダー型であり、やや穏やかな不適切性を示す。
• 不安定性の遷移は、ε と測定誤差の相対的サイズに支配される：ε ≪ 誤差のときには指数的、それ以外はホルダー型。
• 積分作用素 (I − K₁)⁻¹ のリゾルベントノルムは O(ε⁻²) のスケーリングを示し、これが拡散極限における指数的不安定性の背後にある要因である。
• 解 u の L² ノルムは、ε に依存せずに O(‖f‖_{H³/²(∂D)}) で一様に有界であり、逆問題の不適切性にもかかわらず解の安定性を保証する。
• 解析により、角方向に平均化されたアルベド作用素 B は特異値分解手法を用いることができないことが確認され、新たな安定性評価の必要性が裏付けられた。