[論文レビュー] Instability of bound states of a nonlinear Schr\"odinger equation with a Dirac potential

Stefan Le Coz, Reika Fukuizumi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2007

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 52被引用数 97

ひとこと要約

この論文は、ディラックのデルタ関数ポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の安定性を、摂動理論と継続的議論を用いて解析し、線形化作用素の負固有値の数を計算する。反発的欠陥（γ < 0）の場合、非線形性が亜臨界的であるとき、径対称束縁状態は H^1_rad(R) で安定であるが、H^1(R) では不安定であり、不安定性は有限幅の収縮または横方向のずれとして現れる。臨界的・超臨界的非線形性では、バージャル定理と制約付き最小化により爆発が発生することが示される。

ABSTRACT

We study analytically and numerically the stability of the standing waves for a nonlinear Schr\"odinger equation with a point defect and a power type nonlinearity. A main difficulty is to compute the number of negative eigenvalues of the linearized operator around the standing waves, and it is overcome by a perturbation method and continuation arguments. Among others, in the case of a repulsive defect, we show that the standing wave solution is stable in $\hurad$ and unstable in $\hu$ under subcritical nonlinearity. Further we investigate the nature of instability: under critical or supercritical nonlinear interaction, we prove the instability by blowup in the repulsive case by showing a virial theorem and using a minimization method involving two constraints. In the subcritical radial case, unstable bound states cannot collapse, but rather narrow down until they reach the stable regime (a {\em finite-width instability}). In the non-radial repulsive case, all bound states are unstable, and the instability is manifested by a lateral drift away from the defect, sometimes in combination with a finite-width instability or a blowup instability.

研究の動機と目的

• 点欠陥をデルタ関数ポテンシャルでモデル化した非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の安定性を解析すること。
• 定常波解の周囲における線形化作用素の負固有値の数を計算するという課題を、摂動法と継続的議論の技術を用いて克服すること。
• 非線形性（亜臨的、臨界的、超臨的）と欠陥の種別（引力的または反発的）に応じて、不安定性の性質（爆発、有限幅の収縮、横方向のずれ）を分類すること。
• 非径対称および運動量保存をしない摂動の下での束縁状態ダイナミクスの体系的かつ分析的記述を提供すること。

提案手法

• 定常波解の周囲における線形化作用素のモース指数（負固有値の数）を決定するために、摂動法と継続的議論を用いる。
• 臨界的または超臨界的非線形性における反発的状況（γ < 0）の下で、バージャル定理と2つの制約付き最小化法を用いて爆発的不安定性を証明する。
• 定量的な数値的手法を用いて、不安定性のタイプ（有限幅の収縮、横方向のずれ、爆発）を分類する。
• δ(x) に H^{-1}ノルムで収束する正則化されたポテンシャル列 V_a(x) = γa e^{-πa^2 x^2} を用いて近似解を構成し、元の式の解への収束を証明する。
• ガガリャルド＝ニレングラの不等式とエネルギー・電荷保存則を用いて H^1ノルムを制御し、近似列に対する一様な有界性を確立する。
• 時間発展における2次のモーメント ∫ x^2 |u|^2 dx の変化を解析し、バージャル恒等式を導出し、爆発行動を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径対称および非径対称の摂動の下で、デルタ関数ポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の安定性は何か？
• RQ2 ポテンシャルの符号と強さ（引力的 γ > 0 または反発的 γ < 0）は、束縁状態の安定性とダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ3 不安定性を引き起こすメカニズムは何か（爆発、有限幅の収縮、横方向のずれ）、そしてそれらはどのような条件下で発生するか？
• RQ4 滑らかでないポテンシャルに対して、線形化作用素の負固有値の数を解析的にどのように計算できるか？

主な発見

• 反発的欠陥（γ < 0）の場合、非線形性が亜臨的（1 < p < 5）であるとき、定常波は H^1_rad(R) で安定だが、H^1(R) では不安定である。
• 亜臨的径対称の場合、不安定な束縁状態は崩壊しないが、有限幅に収縮するため、有限幅不安定性メカニズムが存在することが示唆される。
• 非径対称な反発的状況では、すべての束縁状態が不安定であり、不安定性の主な原因は欠陥から離れる横方向のずれであり、場合によっては有限幅の収縮や爆発と併存する。
• 臨界的または超臨界的非線形性（p ≥ 5）では、反発的状況における不安定性がバージャル定理と2つの制約付き最小化法により爆発的タイプであることが証明される。
• 基底状態 ϕω,γ(x) の明示的公式が導出され、γ < 0 のとき「∨」型のプロファイル、γ > 0 のとき「∧」型のプロファイルを示し、幅と振幅は ω によって制御される。
• 正則化されたポテンシャルを用いた近似法は、C([0,T], H^1(R)) において元のデルタ関数ポテンシャル方程式の解に強く収束し、極限の議論の妥当性が保証される。