[論文レビュー] Instability of degenerate solitons for nonlinear Schr\"odinger equations with derivative

Noriyoshi Fukaya, Masayuki Hayashi|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

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ひとこと要約

本稿では、導関数と五次非線形項を有する非線形シュレーディンガー方程式における縮退的ソリトンの不安定性を、スケーリングの生成子との$ L^2 $内積に基づくリャプノフ型汎関数を用いて確立する。主な結果は、$ b > 0 $ の場合、縮退的ソリトンに近い広範な初期データの集合が、有限時間 blow-up を引き起こすということであり、一般化されたKdV方程式における不安定性理論を、可積分でない$ L^2 $臨界的シュレーディンガーモデルへと拡張するものである。

ABSTRACT

We consider the following nonlinear Schr\"{o}dinger equation with derivative: \begin{equation} iu_t =-u_{xx} -i |u|^{2}u_x -b|u|^4u , \quad (t,x) \in \mathbb{R} imes\mathbb{R}, \ b \in\mathbb{R}. \end{equation} If $b=0$, this equation is a gauge equivalent form of the well-known derivative nonlinear Schr\"{o}dinger (DNLS) equation. The soliton profile of DNLS satisfies a certain double power elliptic equation with cubic-quintic nonlinearities. The quintic nonlinearity in our equation only affects the coefficient in front of the quintic term in the elliptic equation, so in this sense the additional nonlinearity is natural as a perturbation preserving soliton profiles of DNLS. When $b\ge 0$, the equation has degenerate solitons whose momentum and energy are zero, and if $b=0$, they are algebraic solitons. Inspired from the works on instability theory of the $L^2$-critical generalized KdV equation, we study the instability of degenerate solitons in a qualitative way, and when $b>0$, we obtain a large set of initial data yielding the instability. The arguments except one step in our proof work for the case $b=0$ in exactly the same way, which is a small step towards understanding the dynamics around algebraic solitons of the DNLS equation.

研究の動機と目的

• . 本稿の目的は、導関数と五次非線形項を有する$ L^2 $臨界的非線形シュレーディンガー方程式における縮退的ソリトンの周辺の動的挙動を理解することである。
• . 本稿は、導関数付き非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）における代数的ソリトンの安定性／不安定性という未解決問題に取り組む。
• . 目的は、$ b \geq 0 $、特に$ b > 0 $ の場合に、一般化されたKdV方程式の不安定性理論にインspiredされた定性的な手法を用いて、縮退的ソリトンの不安定性を証明することである。
• . 本稿は、有限時間 blow-up を引き起こす広範な初期データの集合を特定することを目的としている。
• . 本研究は、可積分でない$ L^2 $臨界的ダイナミクスと可積分なダイナミクスの違いを、摂動を加えたDNLSモデルの分析を通じて明確にする。

提案手法

• . 著者らは、ソリトンからの摂動$ \varepsilon $とスケーリングの生成子$ \Lambda $との$ L^2 $内積$ (\varepsilon(s), i\Lambda\varphi)_{L^2} $に基づくリャプノフ汎関数を用いる。
• . 動く枠組みにおける摂動の時間発展を分析することで、この汎関数に関する微分不等式を導出する。これには、保存量と線形化作用素の構造を用いる。
• . 証明は背理法に依拠している：全局的解の存在と摂動の小ささを仮定すると、リャプノフ汎関数が無限に増大する一方で一様有界であるため、矛盾が生じる。
• . この手法は、$ L^2 $臨界的一般化KdV方程式の不安定性理論の技術を適応したものであり、特に$ J(s) = \int \varepsilon(s) \int_{-\infty}^y \Lambda Q \, dy $という汎関数の使用がシュレーディンガー設定に一般化されている。
• . 重要なステップとして、初期データの小ささの仮定の下で、リャプノフ汎関数の時間微分が初期$ L^2 $質量の正の定数倍で下から抑えられることを示す。
• . 分析では、時間スケーリング$ s $の再スケーリングにより、摂動パrameter $ \lambda(s) $ と $ x(s) $ の時間発展を簡略化し、制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 導関数付き非線形項と五次非線形項を有するDNLS方程式における縮退的ソリトン（$ b > 0 $）は、$ H^1 $ノルムにおける小さな摂動に対して不安定であるか？
• RQ2 . 導関数と五次非線形項を有する$ L^2 $臨界的非線形シュレーディンガー方程式において、縮退的ソリトンに近い広範な初期データが有限時間 blow-up を引き起こすか？
• RQ3 . 本稿の可積分でない$ L^2 $臨界的シュレーディンガー方程式における不安定性メカニズムは、既に知られている$ L^2 $臨界的一般化KdV方程式の不安定性とどのように比較できるか？
• RQ4 . リャプノフ汎関数としての$ (\varepsilon, i\Lambda\varphi)_{L^2} $の役割は何か？ また、不安定性の証明においてどのように機能するか？
• RQ5 . $ b = 0 $（元のDNLSの代数的ソリトン）における縮退的ソリトンの不安定性も、本手法により証明可能か？ ただし、blow-upの質量閾値が存在しないという点に注意する。

主な発見

• . 本稿では、方程式$ iu_t = -u_{xx} - i|u|^2 u_x - b|u|^4 u $の縮退的ソリトンが$ b \geq 0 $に対して不安定であることを証明し、有限時間 blow-up を引き起こす広範な初期データの集合を同定する。
• . 不安定性は、リャプノフ汎関数$ (\varepsilon(s), i\Lambda\varphi)_{L^2} $を用いた背理法により確立され、全局的解の存在を仮定した場合に、この汎関数が時間とともに無限に増大することを示す。
• . 初期データが十分に小さく、核に直交する条件下で、リャプノフ汎関数の時間微分が初期$ L^2 $質量$ (\varepsilon_0, \varphi)_{L^2} $の正の定数倍で下から抑えられる。
• . 証明手法は頑健であり、$ b = 0 $（元のDNLS）の場合にも同様の定性的な方法で適用可能であり、可積分な場合における代数的ソリトンの不安定性の証明に向けた一歩を提供する。
• . 汎関数$ (\varepsilon, i\Lambda\varphi)_{L^2} $は、$ L^2 $臨界的一般化KdV方程式における不安定性証明で用いられる汎関数と同様の重要な役割を果たし、$ L^2 $臨界的ダイナミクスにおける共通のメカニズムを強調する。
• . 結果として、二パラメータ族のソリトンと$ L^2 $臨界的構造のおかげで、安定なソリトンと不安定なソリトンの両方が存在可能であることが示され、これは標準的NLSや一般化KdV方程式のような他の$ L^2 $臨界方程式では見られない特徴である。