[論文レビュー] Instability of large solitary water waves

Zhiwu Lin|ArXiv.org|Mar 3, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、120°の冠角を持つ最高波を除き、2次元無渇流における大振幅の孤立波の線形不安定性を証明する。非局所分散作用素の族と移動核公式を用いた連続性議論により、エネルギー最大化波より上および速度最大化波より下の波における不安定性を確立し、大振幅の不安定性が小振幅モデルでは捉えられないことを示している。

ABSTRACT

We consider the linearized instability of 2D irrotational solitary water waves. The maxima of energy and the travel speed of solitary waves are not obtained at the highest wave, which has a 120 degree angle at the crest. Under the assumption of non-existence of secondary bifurcation which is confirmed numerically, we prove linear instability of solitary waves which are higher than the wave of maximal energy and lower than the wave of maximal travel speed. It is also shown that there exist unstable solitary waves approaching the highest wave. The unstable waves are of large amplitude and therefore this type of instability can not be captured by the approximate models derived under small amplitude assumptions. For the proof, we introduce a family of nonlocal dispersion operators to relate the linear instability problem with the elliptic nature of solitary waves. A continuity argument with a moving kernel formula is used to study these dispersion operators to yield the instability criterion.

研究の動機と目的

• 小振幅モデルでは捉えきれない大振幅孤立波の線形不安定性を確立すること。
• エネルギー最大化波より上および速度最大化波より下の波の不安定性を分析すること。
• 冠角120°の最高波に近づく不安定な孤立波の存在を証明すること。
• 非局所分散作用素に基づく新しい解析的枠組みを構築し、不安定性問題を孤立波の楕円型構造に関連付けること。

提案手法

• 非局所分散作用素の族を導入し、線形不安定性問題を孤立波解の楕円型性に関連付ける。
• 移動核公式を用いた連続性議論を適用し、波パrameter族にわたるこれらの分散作用素の挙動を研究する。
• 波速に関する流れ関数および波形の一次変動を用いて、不安定性基準を導出する。
• 境界条件および自由表面における法線微分を用いて、波形の速度に関する微分の符号を分析することで、不安定性基準を導出する。
• 時間依存問題を自由境界付きの定常楕円型系に還元するために、移動座標系形式を用いる。
• 二次分岐の非存在に依存する（数値的に確認済み）ことで、波曲線が単純な分岐であることを保証し、不安定性の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最高波を除き、大振幅の孤立波が線形不安定であるか。
• RQ2 小振幅近似モデルを用いて大振幅波の不安定性を検出できるか。
• RQ3 エネルギー最大化波および速度最大化波が不安定性の境界として果たす役割は何か。
• RQ4 非局所分散作用素の族が孤立波の不安定性分析にどのように寄与するか。
• RQ5 主波分岐に沿って二次分岐が生じないための条件は何か。

主な発見

• 最大エネルギー波より上および最大移動速度波より下の孤立波について、線形不安定性が証明された。
• 不安定な孤立波は、冠角120°の最高波に限りなく近い位置に存在し、極限波に近づくと不安定性が継続することを確認した。
• 不安定性は大振幅であるため、弱い非線形近似に依存する小振幅モデルでは検出できない。
• 証明は、波形の波速に関する変動を分析するための非局所分散作用素の新規な応用と、移動核公式に依存している。
• 不安定性基準は、波形の速度に関する微分の符号から導出され、流れ関数変動の法線微分と関連している。
• 二次分岐の非存在は仮定され、数値的に確認されており、波曲線が単純な分岐であることが保証されており、連続性議論に不可欠である。