[論文レビュー] Instability of oscillations in the Rosenzweig-MacArthur model of one consumer and two resources

P. Gawroński, Alfio Borzı̀+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2022

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1体の消費者と2種の資源を有するローゼンツヴァイク＝マカルーサー・モデルを、消費率β₁およびβ₂（β₁ + β₂ = 1）の有限時間スケールでの最適化を介した動的リソース切り替えを伴って調査する。消費者の割合調整をCの増加率に比例してモデル化することで、β₁ = β₂ = 0.5における周期的共存は不安定であることが示され、消費者が好みを形成した後は効果的な切り替えが不可能なため、一方の資源が抑制された安定固定点へとシステムが駆動される。

ABSTRACT

The system of two resources $R_1$, $R_2$ and one consumer $C$ is investigated within the Rosenzweig-MacArthur model with Holling type II functional response. The rates $\beta_i$ of consumption of resources $i=1,2$ are coupled by the condition $\beta_1+\beta_2=1$. The dynamic switching is introduced by a maximization of $C$: $d\beta_1/dt=(1/ au) dC/d\beta_1$, where the characteristic time $ au$ is large but finite. The space of parameters where both resources coexist is explored numerically. The results indicate that oscillations of $C$ and mutually synchronized $R_i$ which appear at $\beta_i=0.5$ are destabilized for $\beta_i$ larger or smaller. Then, the system is driven to one of fixed points where either $\beta_1>0.5$ and $R_1<R_2$ or the opposite. This behaviour is explained as an inability of the consumer to change the preferred resource, once it is chosen.

研究の動機と目的

• 動的消費者切り替え下での2資源1消費者系における周期的共存の安定性を調査すること。
• 消費者の資源利用割合調整を即時のものではなく、連続的かつ有限時間スケールでの最適化プロセスとしてモデル化すること。
• β₁の調整の時間スケールτがシステムダイナミクスおよび長期的結果に与える影響を分析すること。
• 消費者が時間とともに消費戦略を適応させる場合に、β₁ = β₂ = 0.5における周期的共存が安定に保たれるかどうかを同定すること。

提案手法

• ホーリングII型機能的応答とリソース制限項を備えたローゼンツヴァイク＝マカルーサー・モデルを定式化する。
• 時間制限のある採餌努力を表すためにβ₁ + β₂ = 1の制約を課す。
• Cの成長率の勾配に比例する動的方程式dβ₁/dt = (1/τ) · ∂C/∂β₁を導入し、Cの増加率に基づく段階的最適化をモデル化する。
• 各時間ステップで有限差分法を用いて∂C/∂β₁を数値的に計算するための前方感度解析を用いる。
• C, R₁, R₂, β₁、および感度変数z₁, z₂, z₃を含む7つの常微分方程式の連立系を4次ルンゲ＝クッタ法で解く。
• パラメータ空間α₁₁, τ, 初期β₁の探索のため、数値的続根法とパラメータスイープを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消費者が消費率を動的に調整する場合に、β₁ = β₂ = 0.5における周期的共存が安定に保たれるか？
• RQ2 消費率調整の有限時間スケールτが、消費者-資源系における極小循環の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 β₁が時間とともに変化する場合、最終的な結果が周期的共存か安定的リソース抑制かを決定づける要因は何か？
• RQ4 1つのリソースがより豊富にあるにもかかわらず、なぜシステムはリソース間を切り替えられないのか？これはβ₁のダイナミクスとどのように関係するか？

主な発見

• β₁が動的に進化する場合でさえ、小さなτに対してもβ₁ = β₂ = 0.5における周期的共存は不安定である。
• 有限なτに対して、システムは振動的挙動（フェーズA）から、一方のリソースが抑制される安定固定点（フェーズG）へと進化する。
• τが十分に小さい場合にのみ、システムは安定固定点に到達し、初期β₁にかかわらずβ₁は約0.15に収束する。
• 動的β₁進化下では、β₁ = 0.5の固定点は不安定であるが、静的状態ではC(β₁)の局所的最大値である。
• τ → ∞（静的β₁）の場合、β₁ = 0.5の固定点は不安定であり、安定極小循環はβ₁ = 0.47および0.53の近傍での狭い帯域でのみ存在する。
• τが有限かつ小さい場合、システムはフェーズB（振動的で非対称なβ₁）からフェーズG（安定固定点）に移行し、一方のリソースが絶滅に駆り立てられる。