[論文レビュー] Instability of Renormalization

Marco Martens, Björn Winckler|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ力学系における正規化が位相的同型類内で不安定であることを示しており、これにより2つの新しい現象が生じる：有界幾何と退化した幾何を有する吸引子の共存、および不安定多様体が位相的に完全な族の次元を上回る次元的不一致。これらの結果は、正規化理論における古典的剛性および普遍性を揺るがし、位相的同型が幾何的類似性を意味しなくなること、および従来の意味でのパラメータ普遍性が成立しなくなることを示している。

ABSTRACT

In the theory of renormalization for classical dynamical systems, e.g. unimodal maps and critical circle maps, topological conjugacy classes are stable manifolds of renormalization. Physically more realistic systems on the other hand may exhibit instability of renormalization within a topological class. This instability gives rise to new phenomena and opens up directions of inquiry that go beyond the classical theory. In phase space it leads to the coexistence phenomenon, i.e. there are systems whose attractor has bounded geometry but which are topologically conjugate to systems whose attractor has degenerate geometry; in parameter space it causes dimensional discrepancy, i.e. a topologically full family has too few dimensions to realize all possible geometric behavior.

研究の動機と目的

• より物理的に現実的な力学系、特にローレンツ写像において、古典的正規化理論の破綻を調査すること。
• 同一の位相的同型類内での正規化の不安定性が及ぼす影響を分析すること。
• 正規化が幾何的安定性を保てない場合に生じる新現象（共存と次元的不一致）を同定すること。
• 位相的に完全な族（次元2）が、正規化固定点の高次元不安定多様体（次元≥3）が示すすべての幾何的挙動を実現できないことを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、定常的組み合わせ的構造を持つ無限回正規化可能なローレンツ写像の力学を分析し、位相的同型類の構造に注目する。
• 非空な開集合 𝒰 ⊂ 𝒯 を構成し、そこでは逐次的正規化が退化するが、𝒰 の外側では正規化が固定点に収束することを示す。
• 葉層構造の議論と写像を長方形 Λ に拡張することにより、次数論的および補間的手法を用いて不安定多様体内に正規化可能な写像の存在を示す。
• コーエーベの補題と歪度推定を用いて、臨界値の幾何的性質を制御し、パrameter空間上での正規化写像の単射性を保証する。
• べき則的ブランチ性質と行列式および表面積による体積推定を用いて歪度を抑え、パrameter化の正則性を保証する。
• 臨界値写像の単射性を、像の正則性の証明と拡張されたパrameter領域上での位相的次数の議論により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に現実的な系、例えばローレンツ写像において、位相的同型類内で正規化が安定するか？
• RQ2 同一の位相的同型類に、有界幾何の吸引子と退化した幾何の吸引子を有する系が同時に存在できるか？
• RQ3 正規化固定点の不安定多様体の次元と、位相的に完全な族の次元との関係は何か？
• RQ4 パラメータ普遍性の失敗は、パrameter空間における次元的不一致によってどの程度生じるか？
• RQ5 異なる幾何的挙動の共存が、写像族の分岐パターンにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 共存現象が生じる：位相的同型類内に、有界幾何の吸引子を持つ写像と、退化した幾何の吸引子を持つ写像が共存し、古典的剛性が破られる。
• 正規化固定点の不安定多様体の次元は3以上であるが、位相的に完全な族は次元2に限られるため、次元的不一致が生じる。
• 位相的に完全な族（次元2）は一般には正規化固定点の安定多様体に到達できないため、逐次的正規化は不安定多様体に蓄積しない。
• パラメータ普遍性が従来の意味で成立しないのは、族がすべての可能な分岐パターンの幾何的挙動を実現するには小さすぎるためである。
• 同一の位相的同型類内に存在する吸引子間の同型写像は、すべての点で滑らかではない。測度ゼロの集合上でのみホルダー連続である可能性があり、滑らかさの剛性の破綻を示している。
• 臨界値写像を長方形に拡張し、像が全射で次数が非ゼロであることを示すことにより、不安定多様体内に正規化可能な写像の存在が証明される。これにより、パrameter空間内に解が存在することが保証される。