[論文レビュー] Instability of solitary waves for a generalized derivative nonlinear Schrödinger equation in a borderline case

Noriyoshi Fukaya|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、スペクトル解析から導かれた臨界閾値に等しい波動速度パラメータを持つ、一般化された誘導非線形シュレーディンガー方程式における2パラメータの孤立波解の軌道的不安定性を確立する。3次までの作用関数の展開とヘッセ行列のスペクトル解析を用いて、ヘッセ行列が退化している場合の不安定性を証明し、退化状態における2パラメータ族の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study the orbital instability of solitary waves for a generalized derivative nonlinear Schrödinger equation. We give sufficient conditions for instability of a two-parameter family of solitary waves in a degenerate case.

研究の動機と目的

• 作用関数のヘッセ行列が特異である退化状態における2パラメータ族の安定性に関する未解決問題を解消すること。
• 従来、退化状態で研究されていた1パラメータ族を超えて、孤立波の安定性理論を拡張すること。
• 波動速度パラメータが $\omega_1 = 2z_0\sqrt{\omega_0}$ を満たす臨界状態における不安定性メカニズムを分析すること。ここで $z_0$ は非線形積分方程式を満たす。
• 作用関数の高次展開と線形化作用素のスペクトル解析を用いて、不安定性の厳密な証明を提供すること。

提案手法

• 一般化された誘導NLS方程式（$\sigma \in [3/2, 2)$）から、2パラメータ族の孤立波解 $u_\omega(t,x) = e^{i\omega_0 t} \phi_\omega(x - \omega_1 t)$ を導出する。
• 孤立波に対応する臨界点をもつ作用関数 $S_\omega(u) = E(u) + \sum_{j=0}^1 \omega_j Q_j(u)$ を導入する。
• 作用関数のヘッセ行列 $d''(\omega)$ を孤立波において評価し、特に $\omega_1 = 2z_0\sqrt{\omega_0}$ の退化状態に注目する。
• 方向 $\lambda = 0$ の周りで $d(\omega + \lambda \xi)$ の3次テイラー展開を行い、非ゼロの3次微分が現れることで不安定性を検出する。
• スペクトル解析と恒等式 $\partial_{\omega_0}^2 d(\omega) = Q_0(\phi_\omega)$ を用いて、ヘッセ行列の成分を $\alpha_{0,\omega}$ と $\alpha_{1,\omega}$ の形に表現する。
• グリルラキス、シャタフ、ストラウスの一般安定性枠組みを、高次摂動解析を用いて退化状態に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッセ行列 $d''(\omega)$ が退化する臨界状態において、2パラメータ族の孤立波は不安定か？
• RQ2 退化状態における特定の方向 $\xi$ に沿った作用関数 $d(\omega)$ の3次微分はどのように振る舞うか？
• RQ3 ヘッセ行列の2次スペクトル条件が退化によって失敗する場合、孤立波の不安定性を確立できるか？
• RQ4 積分方程式 $F_\sigma(z_0) = 0$ で定義される臨界値 $z_0(\sigma)$ は、不安定性の閾値にどのように影響するか？
• RQ5 退化状態における $d(\omega + \lambda \xi)$ の3次項は消えるか、それとも消えないか？その結果、安定性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 孤立波 $e^{i\omega_0 t}\phi_\omega(x - \omega_1 t)$ は、$\omega_1 = 2z_0\sqrt{\omega_0}$ かつ $\sigma \in [3/2, 2)$ のとき、軌道的不安定である。これは未解決問題を解決する。
• 3次微分 $\frac{d^3}{d\lambda^3}d(\omega + \lambda\xi)\big|_{\lambda=0}$ が非ゼロであり、ヘッセ行列が退化しているが、高次項によって不安定性が検出可能であることを示す。
• 非ゼロの3次微分は、非退化な組み合わせ $-4\partial_{\omega_0}\partial_{\omega_1}^2 d(\omega) + 4\omega_0^{1/2}\partial_{\omega_0}^2\partial_{\omega_1} d(\omega) + \partial_{\omega_0}^2 d(\omega) \neq 0$ に起因する。
• この結果は、条件 $\partial_{\omega_0}\partial_{\omega_1}d(\omega) = \pm \omega_0^{1/2} \partial_{\omega_0}^2 d(\omega)$ が成り立つ場合に成立し、これが非ゼロの3次微分を生じる。
• 証明は $\alpha_{0,\omega}$ と $\alpha_{1,\omega}$ を用いたヘッセ行列成分の明示的計算に依拠しており、$\sigma(\sigma-1)(z_0-1)^2(z_0+1)$ の因子が非ゼロであるため、式全体が非ゼロであることが示される。
• 本研究は、退化状態における2パラメータ族の孤立波の不安定性を初めて確立した。従来の結果は1パラメータ族に限られていた。