[論文レビュー] Instability of the Abstract Rayleigh--Taylor Problem and Applications

Fei Jiang, Song Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ座標系におけるブートストラップ不安定性法を用いて、密度に分層した粘性流体における抽象的レイノルズ・ターレル問題について、$L^1$-ノルムにおける一意な不安定な強解の存在を確立する。初期データをストークス存在理論と反復技法を用いて変更し、適合条件を満たすようにすることで、元の非線形問題に対する必要十分条件を満たす。その後、逆変換によりオイラー座標系における不安定解を導出し、粘性流体、粘弾性流体、零抵抗率MHD流体について、従来の知られていたより弱いLebesgueノルムへと不安定性結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of a unique unstable strong solution in the sense of $L^1$-norm for an abstract Rayleigh--Taylor (RT) problem arising from stratified viscous fluids in Lagrangian coordinates based on a bootstrap instability method. In the proof, we develop a method to modify the initial data of the linearized abstract RT problem based on an existence theory of unique solution of stratified (steady) Stokes problem and an iterative technique, so that the obtained modified initial data satisfy necessary compatibility conditions of the (original) abstract RT problem. Applying an inverse transformation of Lagrangian coordinates to the obtained unstable solution, and then taking proper values of parameters, we can further get unstable solutions for the RT problems in viscoelastic fluids, magnetohydrodynamics (MHD) fluids with zero resistivity and pure viscous fluids (with or without interface intension) in Eulerian coordinates. Our results can be also extended to the corresponding inhomogeneous case (without interface).

研究の動機と目的

• 最小限の正則性仮定の下で、分層した粘性流体におけるレイノルズ・ターレル問題に対する不安定解の存在を確立すること。
• 従来の$L^2$およびソボレフ–スロボデツキー空間のノルムから、Lebesgue空間の中で最も弱い$L^1$-ノルムへと不安定性結果を拡張すること。
• 抽象的レイノルズ・ターレル問題の定式化を通じて、粘性流体、粘弾性流体、零抵抗率MHD流体のRT不安定性の解析を統一すること。
• 非線形問題に対する必要十分な適合条件を満たすように、線形化された抽象的RT問題の初期データを変更する手法を開発すること。
• 抽象的枠組みを用いて、逆変換によりオイラー座標系における複数の流体型に対する不安定解を導出することの適用可能性を示すこと。

提案手法

• ブートストラップ不安定性法を用いて、ラグランジュ座標系における抽象的RT問題の$L^1$-ノルムにおける一意な不安定な強解を構成する。
• 分層（定常）ストークス問題の解の存在理論を用いて、線形化RT問題の初期データを修正する。
• 反復技法を用いて初期データを調整し、元の非線形抽象的RT問題に必要な適合条件を満たすようにする。
• 不安定解をラグランジュ座標系からオイラー座標系への逆変換を適用し、さまざまな流体モデルの物理空間における解を導出する。
• 抽象的定式化における適切なパラメータの選定により、界面張力有無の粘性流体、粘弾性流体、零抵抗率MHD流体へとこの手法を拡張する。
• 水平周期性に依存する分析と、水平フーリエ変換およびディリクレの近似定理を用いた精密なノルム推定により、ノルムを制御し、不安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度に分層した粘性流体における抽象的レイノルズ・ターレル問題について、$L^1$-ノルムにおける不安定解を構成することは可能か？
• RQ2 線形化された抽象的RT問題の初期データを、非線形問題に必要な適合条件を満たすように変更することは可能か？
• RQ3 抽象的RT問題の枠組みをどのように用いることで、零抵抗率の粘弾性流体およびMHD流体に対する不安定解を導出できるか？
• RQ4 パラメータの選択が、抽象的定式化から異なる流体型の不安定解を回復する際に果たす役割は何か？
• RQ5 $L^1$-ノルムにおける不安定性結果を、界面のない非一様粘性流体へと拡張可能か？

主な発見

• ラグランジュ座標系において、密度に分層した粘性流体における抽象的レイノルズ・ターレル問題について、$L^1$-ノルムにおける一意な不安定な強解が存在する。
• ストークス存在理論と反復技法を用いて、線形化問題の初期データが、必要な適合条件を満たすように成功裏に修正された。
• ラグランジュ座標系からオイラー座標系への逆変換により、界面張力有無の粘性流体に対する不安定解が得られた。
• 抽象的RT問題における適切なパラメータの選定により、粘弾性流体および零抵抗率MHD流体に対する不安定解が得られた。
• この手法により、最も弱いLebesgueノルムである$L^1$-ノルムにおける不安定性が確立され、従来の$L^2$またはソボレフ–スロボデツキー空間ノルムに限られていた結果を拡張した。
• 解析により、界面のない非一様粘性流体を含む、関心のある物理的モデルを回復するパラメータ選択に対しても不安定性が維持されることを確認した。